Lý thuyết Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Các số đặc trưng đo độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm — Kiến thức cần nhớ
Các số đặc trưng đo độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm
Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
Nhóm $[a_1;a_2)$ $\ldots$ $[a_i;a_{i+1})$ $\ldots$ $[a_k;a_{k+1})$
Tần số $m_1$ $\ldots$ $m_i$ $\ldots$ $m_k$
trong đó $m_i$ là tần số và $n=m_1+\ldots+m_k$ là cỡ mẫu.
- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R=a_{k+1}-a_1$.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc. Khoảng biến thiên được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu ghép nhóm càng phân tán.
- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $\Delta_Q$, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba $Q_3$ và tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu đó, tức là $\Delta_Q=Q_3-Q_1$.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc. Khoảng tứ phân vị cũng được dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Lưu ý rằng các tứ phân vị $Q_r$ được tính như sau:
$Q_r=a_p+\dfrac{\frac{r\cdot n}{4}-(m_1+\ldots+m_{p-1})}{m_p}\cdot(a_{p+1}-a_p)$,
trong đó $[a_p;a_{p+1})$ là nhóm chứa phân vị thứ $r$ với $r=1,2,3$.
Lưu ý: Đối với số liệu rời rạc và các nhóm cho dưới dạng $k_1-k_2$ trong đó $k_1,k_2\in\mathbb{N}$ thì ta cần thực hiện hiệu chỉnh nhóm trước khi tính toán các số đặc trưng.
- Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $s^2$, là một số được tính theo công thức sau: $s^2=\dfrac{m_1(x_1-\bar{x})^2+\ldots+m_k(x_k-\bar{x})^2}{n}$
trong đó $n=m_1+\ldots+m_k$, $x_i=\dfrac{a_i+a_{i+1}}{2}$ với $i=1,2,\ldots,k$ là giá trị đại diện cho nhóm $[a_i;a_{i+1})$ và $\bar{x}=\dfrac{m_1x_1+\ldots+m_kx_k}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
- Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $s$, là căn bậc hai số học của phương sai, tức là $s=\sqrt{s^2}$.
- Ta có thể tính phương sai theo công thức sau: $s^2=\dfrac{1}{n}(m_1x_1^2+\ldots+m_kx_k^2)-(\bar{x})^2$
- Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán. Người ta hay dùng độ lệch chuẩn để đo độ phân tán vì nó có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.
- Trong tài chính, người ta có thể dùng độ lệch chuẩn của lợi nhuận thu được để đo độ rủi ro của một phương án đầu tư. Giá trị này càng lớn thì phương án đầu tư càng rủi ro. Tuy nhiên, đối với hai phương án đầu tư có lợi nhuận trung bình khác nhau nhiều thì việc đo "độ rủi ro" bằng độ lệch chuẩn của lợi nhuận không phù hợp. Khi đó người ta có thể dùng hệ số biến thiên CV.
Nhóm $[a_1;a_2)$ $\ldots$ $[a_i;a_{i+1})$ $\ldots$ $[a_k;a_{k+1})$
Tần số $m_1$ $\ldots$ $m_i$ $\ldots$ $m_k$
trong đó $m_i$ là tần số và $n=m_1+\ldots+m_k$ là cỡ mẫu.
- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R=a_{k+1}-a_1$.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc. Khoảng biến thiên được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu ghép nhóm càng phân tán.
- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $\Delta_Q$, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba $Q_3$ và tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu đó, tức là $\Delta_Q=Q_3-Q_1$.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc. Khoảng tứ phân vị cũng được dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Lưu ý rằng các tứ phân vị $Q_r$ được tính như sau:
$Q_r=a_p+\dfrac{\frac{r\cdot n}{4}-(m_1+\ldots+m_{p-1})}{m_p}\cdot(a_{p+1}-a_p)$,
trong đó $[a_p;a_{p+1})$ là nhóm chứa phân vị thứ $r$ với $r=1,2,3$.
Lưu ý: Đối với số liệu rời rạc và các nhóm cho dưới dạng $k_1-k_2$ trong đó $k_1,k_2\in\mathbb{N}$ thì ta cần thực hiện hiệu chỉnh nhóm trước khi tính toán các số đặc trưng.
- Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $s^2$, là một số được tính theo công thức sau: $s^2=\dfrac{m_1(x_1-\bar{x})^2+\ldots+m_k(x_k-\bar{x})^2}{n}$
trong đó $n=m_1+\ldots+m_k$, $x_i=\dfrac{a_i+a_{i+1}}{2}$ với $i=1,2,\ldots,k$ là giá trị đại diện cho nhóm $[a_i;a_{i+1})$ và $\bar{x}=\dfrac{m_1x_1+\ldots+m_kx_k}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
- Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $s$, là căn bậc hai số học của phương sai, tức là $s=\sqrt{s^2}$.
- Ta có thể tính phương sai theo công thức sau: $s^2=\dfrac{1}{n}(m_1x_1^2+\ldots+m_kx_k^2)-(\bar{x})^2$
- Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán. Người ta hay dùng độ lệch chuẩn để đo độ phân tán vì nó có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu.
- Trong tài chính, người ta có thể dùng độ lệch chuẩn của lợi nhuận thu được để đo độ rủi ro của một phương án đầu tư. Giá trị này càng lớn thì phương án đầu tư càng rủi ro. Tuy nhiên, đối với hai phương án đầu tư có lợi nhuận trung bình khác nhau nhiều thì việc đo "độ rủi ro" bằng độ lệch chuẩn của lợi nhuận không phù hợp. Khi đó người ta có thể dùng hệ số biến thiên CV.