Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu $x_1, x_2, \ldots, x_n$, kí hiệu là $\overline{x}$, được tính bằng công thức $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$
Chú ý. Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức: $\overline{x}=\frac{m_1 x_1+m_2 x_2+\ldots+m_k x_k}{n}$, trong đó $m_k$ là tần số của giá trị $x_k$ và $n=m_1+m_2+\ldots+m_k$
Ý nghĩa. Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.
Ví dụ 1: Thống kê số cuốn sách mỗi bạn trong lớp đã đọc trong năm 2021, An thu được kết quả như bảng bên. Hỏi trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc bao nhiêu cuốn sách?
Số cuốn sách 1 2 3 4 5
Số bạn 3 5 15 10 7
Lời giải:
Số bạn trong lớp là $n=3+5+15+10+7=40$ (bạn).
Trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc số cuốn sách là:
$\frac{3\cdot 1+5\cdot 2+15\cdot 3+10\cdot 4+7\cdot 5}{40}=3{,}325$ (cuốn).
Ý nghĩa. Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.

Để tìm trung vị (kí hiệu là Me) của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:
Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm xác định số liệu phân bố n là chẵn hay lẻ
Nếu n lẻ thì số trung vị là số thứ $\frac{n+1}{2}$
Nếu n chẵn thì số trung vị là số trung bình cộng của hai số liên tiếp đứng thứ $\frac{n}{2}$ và $\frac{n}{2}+1$
Ví dụ 2: Một công ty nhỏ gồm 1 giám đốc và 5 nhân viên, thu nhập mỗi tháng của giám đốc là 20 triệu đồng, của nhân viên là 4 triệu đồng. Hãy tìm trung vị cho mẫu số liệu về lương của giám đốc và nhân viên công ty được cho.
Lời giải:
Để tìm trung vị của mẫu số liệu trên, ta làm như sau:
- Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm:
$4\quad 4\quad \underbrace{4\quad 4}_{\text{Hai giá trị chính giữa}}\quad 4\quad 20.$
- Dãy trên có hai giá trị chính giữa cùng bằng 4. Vậy trung vị của mẫu số liệu cũng bằng $4.$ Trong mẫu số liệu được sắp xếp trên, số phần tử ở bên trái trung vị và số phần tử ở bên phải trung vị bằng nhau và bằng 3. Lương của giám đốc cao hơn hẳn số trung bình, đây chính là giá trị bất thường. Nếu ta thay lương của giám đốc là $30;40;50$;... (triệu đồng) thì trung vị vẫn không thay đổi trong khi số trung bình sẽ thay đổi.
Ý nghĩa. Trung vị là giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có $n$ giá trị, ta làm như sau:
- Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

- Tìm trung vị. Giá trị này là $Q_2$.
- Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ). Giá trị này là $Q_1$
- Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ). Giá trị này là $Q_3$. $Q_1, Q_2, Q_3$ được gọi là các tứ phân vị của mẫu số liệu.
Chú ý. $Q_1$ được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, $Q_3$ được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên
Ý nghĩa. Các điểm $Q_1, Q_2, Q_3$ chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần đều chứa $25\%$ giá trị

Ví dụ 3: Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, $1\,\mathrm{mg}=0{,}001\,\mathrm{g}$) trong $100\,\mathrm{g}$ một số loại ngũ cốc được cho như sau:
$0\quad 340\quad 70\quad 140\quad 200\quad 180\quad 210\quad 150\quad 100\quad 130\quad 140\quad 180\quad 190\quad 160\quad 290\quad 50\quad 220\quad 180\quad 200\quad 210.$
Hãy tìm các tứ phân vị. Các tứ phân vị này cho ta thông tin gì?
Lời giải:
- Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm:
$0\,\,\,50\,\,\,70\,\,\,100\,\,\,130\,\,\,140\,\,\,140\,\,\,150\,\,\,160\,\,\,\underline{180\,\,\,180}\,\,\,180\,\,\,190\,\,\,200\,\,\,200\,\,\,210\,\,\,210\,\,\,220\,\,\,290\,\,\,340$
Hai giá trị chính giữa
- Vì $n=20$ là số chẵn nên $Q_2$ là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa $Q_2=(180+180):2=180.$
- Ta tìm $Q_1$ là trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_2$.
$0\,\,\,50\,\,\,70\,\,\,100\,\,\,130\,\,\,140\,\,\,140\,\,\,150\,\,\,160\,\,\,180$ và tìm được $Q_1=(130+140):2=135$.
- Ta tìm $Q_3$ là trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_2$.
$180\,\,\,180\,\,\,190\,\,\,200\,\,\,200\,\,\,210\,\,\,210\,\,\,220\,\,\,290\,\,\,340$ và tìm được $Q_3=(200+210):2=205$.

Hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu
Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bố của mẫu số liệu. Khoảng cách từ $Q_1$ đến $Q_2$ là 45 trong khi khoảng cách từ $Q_2$ đến $Q_3$ là 25. Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung với mật độ cao ở bên phải của $Q_2$ và mật độ thấp ở bên trái của $Q_2$.

Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất
Ý nghĩa. Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau
Nhận xét. Mốt có thể không là duy nhất. Khi các giá trị trong mẫu số liệu xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu không có mốt.
Ví dụ 4: Thời gian truy cập Internet (đơn vị giờ) trong một ngày của một số học sinh lớp 10 được cho như sau: $0\quad 0\quad 1\quad 1\quad 1\quad 3\quad 4\quad 4\quad 5\quad 6$
Tìm mốt cho mẫu số liệu này.
Lời giải:
Vì số học sinh truy cập Internet 1 giờ mỗi ngày là lớn nhất (có 3 học sinh) nên mốt là $1.$