Nguyên hàm bài tập phần 15
• Phương pháp nguyên hàm từng phần:
• Cho \( u \) và \( v \) là hai hàm nối có đạo hàm. Lúc đó:
• \( d(uv) = u \, dv + v \, du \)
\( \Rightarrow \int d(uv) = \int u \, dv + \int v \, du \)
\( \Rightarrow \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
• Nhất log nhì đa tam mũ tứ lượng! (Xem trang sau)
\( \int \ln x \, dx\)
Làm thêm:
a) \( \int \ln (1 + x) \, dx \)
b) \( \int x^2 \ln x \, dx \)
a) \( \int \ln (1 + x) \, dx \)
b) \( \int x^2 \ln x \, dx \)
page 75
⚠️ Cách đặt \( u \) và \(dv\) trong tích phân từng phần
• \(\int {f(x) g(x) } dx \) với \(f(x), g(x)\) là hai hàm trong bốn hàm: logarit (log), đa thức (đa), lượng giác (lượng), mũ (mũ), phải dùng phương pháp tích phân từng phần.
page 76
\(\int \ln^2 x \, dx\)
Làm thêm:
\(\int \ln^3 x \, dx\)
\(\int \ln^3 x \, dx\)
Rút ra: Gặp \(\int p(x) . f(\ln x) \, dx\):
Đặt: \(\begin{cases}
u = f(\ln x) \\
dv = p(x) \, dx
\end{cases}\)
Đặt: \(\begin{cases}
u = f(\ln x) \\
dv = p(x) \, dx
\end{cases}\)
page 77
\(\int x^3 \ln^2 x \, dx \)
Làm thêm:
a) \(\int \frac{\ln x}{x^3} \, dx\)
b) \(\int x \ln(1 + x) \, dx \quad\) (SGK chuẩn)
page 78
\(\int \left(x^3 + \frac{1}{x}\right) \ln^2 x \, dx\)
Chú ý: Gặp \(\int \frac{1}{x} f(\ln x) \, dx\) thì đổi biến số đặt \(t = \ln x\)
\(\int \left(\frac{x^2 + 1}{x}\right)(\ln^2 x + 3 \ln x) \, dx \)
Làm thêm:
\(\int \left( 2x - \frac{3}{x} \right) \ln x \, dx\) (2010.D)
page 79