Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn: \( f(4 - x) = f(x) \). Biết \( \int_1^3 x f(x) \, dx = 5 \). Tính \( I = \int_1^3 f(x) \, dx \).
A. \( I = \frac{5}{2} \quad \) B. \( I = \frac{7}{2}\quad \) C. \( I = \frac{9}{2} \quad \) D. \( I = \frac{11}{2} \)
Đáp án
page6
\( \int_a^b f(u(x)) d(u(x)) \, dx = \int_{u(a)}^{u(b)} f(t) \, dt = \int_{u(a)}^{u(b)} f(x) \, dx. \)
1) Biết \( \int_1^2 f(x) \, dx = 2 \). Tính \( \int_1^4 \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx \).
\( \int_1^4 \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_1^4 f(\sqrt{x}) \, d(\sqrt{x}) = 2 \int_1^2 f(x) \, dx = 4. \)
2) Biết \( \int_0^1 f(x) \, dx = 3 \). Tính \( \int_0^1 x^2 f(x^3) \, dx \).
\( \int_0^1 x^2 f(x^3) \, dx = \frac{1}{3} \int_0^1 f(x^3) \, d(x^3) = \frac{1}{3} \int_0^1 f(x) \, dx = 1. \)
page7
Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Thỏa mãn: \( \int_0^2 f(x-1) dx = 3, \, \text{và } f(1) = 4. \) Tính: \( I = \int_0^1 x^3 f'(x^2) dx \)
\( \text{A. } -\frac{1}{2} \quad \text{B. } \frac{1}{2} \quad \text{C. } 1 \quad \text{D. } -1 \)
Đáp án
page8
Bài tập: Cho hàm số \( f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn: \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \, dx = 4 \quad \text{và} \quad \int_0^1 \frac{x^2 f(x)}{x^2 + 1} \, dx = 2 \). Tính \( I = \int_0^1 f(x) \, dx \).
A. \( I = 2 \quad \) B. \( I = 6 \quad\) C. \( I = 3 \quad\) D. \( I = 1 \)
Đáp án
page9
Bài tập: Giả sử hàm số \( y = f(x) \) liên tục, nhận giá trị dương trên \( (0; +\infty) \) và thỏa mãn \( f(1) = 1 \),
\( f(x) = f'(x)\sqrt{3x+1}, \, \forall x > 0 \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \( 1 < f(5) < 2 \quad \) B. \( 2 < f(5) < 3 \)
C. \( 3 < f(5) < 4 \quad \) D. \( 4 < f(5) < 5 \)
Đáp án
page10