Bài tập: Cho hàm số \( f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) thoả mãn: \( x f'(x) - x^2 e^x = f(x), \, \forall x \in \mathbb{R} \, \text{với } f(1) = e \). Tính: \( I = \int_1^2 f(x) \, dx \).

A. \( I = e^2 - 2e \quad \)  B. \( I = e \quad \)  C. \( I = e^2 \quad \)  D. \( I = 3e^2 - 2e \)

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) thỏa mãn: \( f'(x))^2 + f(x)f''(x) = 15x^4 + 12x, \, \forall x \in \mathbb{R} \, \text{và } f(0) = f'(0) = 1 \). Giá trị \( (f(1))^2 \) bằng:

A. \( \frac{9}{2} \quad \)  B. \( \frac{5}{2} \quad \)  C. \( 10 \quad \)  D. \( 8 \)

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm trên \( \mathbb{R} \), thỏa mãn: \( 3f'(x) \cdot e^{f^3(x) - x^2 - 1} - \frac{2x}{f(x} = 0 \) và \( f(0) = 1 \). Tính \( I = \int_{0}^{\sqrt{7}} x f(x) \, dx \).

A. \( \frac{2\sqrt{7}}{3} \quad \) B. \( \frac{15}{4} \quad \) C. \( \frac{45}{8} \quad \)  D. \( \frac{5\sqrt{7}}{4} \).

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) liên tục, không âm trên \( \mathbb{R} \), thỏa mãn: \( f(x) \cdot f'(x) = 2x \sqrt{1 + (f(x))^2} \), và \( f(0) = 0 \).

Tìm giá trị \( \max f(x) \) trên \( [1, 3] \) bằng.

A. \( 20 \quad \) B. \( 4\sqrt{11} \quad \) C. \( 2\sqrt{11} \quad \) D. \( 3\sqrt{11} \) \)

Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm không âm trên \([0, 1]\) thỏa mãn: \(\frac{[f(x)]^2 [f'(x)]^2}{e^{2x}} = 1 + [f(x)]^2 \quad và \quad f(x) > 0, \forall x \in [0, 1]\). Biết \(f(0) = 1\). Khẳng định nào sau đây đúng?  

A. \(\frac{5}{2} < f(1) < 3 \quad \)  B. \(3 < f(1) < \frac{7}{2} \quad \)  C. \(2 < f(1) < \frac{5}{2} \quad \)  D. \(\frac{3}{2} < f(1) < 2\)