Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \([0, 1]\) thỏa mãn: \((f(x))^4 \cdot (f'(x))^2 \cdot (x+1) = 1 + (f(x))^3, \quad f'(x) > 0, \quad f(x) > 0, \, \forall x \in [0, 1].\) Biết \(f(0) = 2\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(2 < f(1) < \frac{5}{2} \quad\)  B. \(\frac{5}{2} < f(1) < 3 \quad\)  C. \(\frac{3}{2} < f(1) < 2 \quad\)  D. \(3 < f(1) < \frac{7}{2} \)

Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([1, 2]\). Thỏa mãn: \(f(1) = 4 , f(x) = x f'(x) - 2x^3 - 3x^2.\) Tính \(f(2).\)

A. \(5 \quad \)  B. \(20 \quad \)  C. \(10 \quad \)  D. \(15 \quad \) 

Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn: \(f'(x) = f(x) + x^2 e^x + 1, \, \forall x \in \mathbb{R} \, \text{và} \, f(0) = -1.\) Tính \(f(3).\)

A. \(6e^3 + 3 \quad \)  B. \(6e^2 + 2 \quad\)  C. \(3e^2 - 1 \quad\)  D. \(9e^3 - 1\)

​​​​​​​Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trong \((1, +\infty)\) thỏa mãn: \(f(x) + x\ln{x} f'(x) = x^2 + 1, \, \forall x > 1\) với \(f(e) = \frac{e^2}{2} + 1.\) Tính \(f(e^2).\)

A. \(\frac{e^4}{2} + 1 \quad\)  B. \(\frac{e^2}{2} + 1 \quad\)  C. \(\frac{e}{4} + 1 \quad\)  D. \(\frac{e^4}{4} + 1\)

​​​​​​​Bài tập: ​​​​​​​Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R} \setminus \{0;-1\}\) thỏa mãn: \(f(-1) = -2\ln{2}\) và \(x(x+1)f'(x) + f(x) = x^2 +x, \, \forall x \neq -1.\) Gọi \(f(2) = a + b\ln{3}, \, (a, b \in \mathbb{R}).\) Tính giá trị \(a^2 + b^2.\)

A. \(\frac{25}{4} \quad\)  B. \(\frac{9}{2} \quad\)  C. \(\frac{5}{2} \quad\)  D. \(\frac{13}{4}\)