Bài tự luận · Bài 11
Dạng 1. Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Bài tự luận Đường tiệm cận của đồ thị hàm số · Bài 11
(CD12) Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) $y=f(x)=\frac{x}{2-x}$;
b) $y=f(x)=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}$
c) $y=f(x)=x-3+\frac{1}{x^2}$
a) $y=f(x)=\frac{x}{2-x}$;
b) $y=f(x)=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}$
c) $y=f(x)=x-3+\frac{1}{x^2}$
Xem lời giải
Lời giải
a) Hàm số đã cho có tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. Ta có:
- $\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{2-x}=-1, \lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{2-x}=-1$.
Vậy đường thẳng $y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
$\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}\frac{x}{2-x}=\lim_{x\to 2^-}\left(-1+\frac{2}{2-x}\right)=+\infty$, $\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}\frac{x}{2-x}=\lim_{x\to 2^+}\left(-1+\frac{2}{2-x}\right)=-\infty$.
Vậy đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
b) Hàm số đã cho có tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Ta có:
- $\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=-\infty, \lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=+\infty$.
Vậy đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
- $a=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-3x+2}{x(x-1)}=2$ và
$b=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-2x]=\lim_{x\to +\infty}\frac{-x+2}{x-1}=-1$.
Vậy đường thẳng $y=2x-1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi $x\to +\infty$).
Tương tự, do $\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=2$ và $\lim_{x\to -\infty}[f(x)-2x]=-1$ nên đường thẳng $y=2x-1$ cũng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi $x\to -\infty$).
c) Hàm số đã cho có tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Ta có:
- $\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\left(x-3+\frac{1}{x^2}\right)=+\infty, \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\left(x-3+\frac{1}{x^2}\right)=+\infty$.
Vậy đường thẳng $x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
- $\lim_{x\to +\infty}[f(x)-(x-3)]=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=0, \lim_{x\to -\infty}[f(x)-(x-3)]=\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^2}=0$.
Vậy đường thẳng $y=x-3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
- $\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{2-x}=-1, \lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{2-x}=-1$.
Vậy đường thẳng $y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
$\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}\frac{x}{2-x}=\lim_{x\to 2^-}\left(-1+\frac{2}{2-x}\right)=+\infty$, $\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}\frac{x}{2-x}=\lim_{x\to 2^+}\left(-1+\frac{2}{2-x}\right)=-\infty$.
Vậy đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
b) Hàm số đã cho có tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$. Ta có:
- $\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=-\infty, \lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=+\infty$.
Vậy đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
- $a=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-3x+2}{x(x-1)}=2$ và
$b=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-2x]=\lim_{x\to +\infty}\frac{-x+2}{x-1}=-1$.
Vậy đường thẳng $y=2x-1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi $x\to +\infty$).
Tương tự, do $\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=2$ và $\lim_{x\to -\infty}[f(x)-2x]=-1$ nên đường thẳng $y=2x-1$ cũng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi $x\to -\infty$).
c) Hàm số đã cho có tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Ta có:
- $\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\left(x-3+\frac{1}{x^2}\right)=+\infty, \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\left(x-3+\frac{1}{x^2}\right)=+\infty$.
Vậy đường thẳng $x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
- $\lim_{x\to +\infty}[f(x)-(x-3)]=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}=0, \lim_{x\to -\infty}[f(x)-(x-3)]=\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^2}=0$.
Vậy đường thẳng $y=x-3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.