Một mô hình thu nhỏ của bạn Nam có dạng hình chóp $ S.ABCD $ có tam giác $ SAB $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $ \left ( { ABCD } \right ), $ tứ giác $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a. $ Gọi $ H $ là trung điểm của $ AB $.

a) Đúng: Do tam giác $ SAB $ đều và $ H $ là trung điểm của $ AB $ nên $ SH⊥AB $. $ \left \{ \begin{array}{l} SH⊥AB \\ \left ( { SAB } \right )⊥\left ( { ABCD } \right ) \\ \left ( { SAB } \right )∩\left ( { ABCD } \right )=AB \end{array} \right.⇒SH⊥\left ( { ABCD } \right ). $ b) Đúng: Ta có: $ AH{ \rm{ // } }CD⇒AH{ \rm{ // } }\left ( { SCD } \right ) $ Vậy $ d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { H,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $ c) Sai: Ta có: $ SH⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SH⊥CD $. Do $ ABCD $ là hình vuông nên gọi $ E $ là trung điểm $ CD $ thì $ HE⊥CD $. Vậy $ CD⊥\left ( { SHE } \right ) $. Mà $ CD⊂\left ( { SCD } \right ) $ nên $ \left ( { SCD } \right )⊥\left ( { SHE } \right ) $. Ta có $ \left ( { SCD } \right )∩\left ( { SHE } \right )=SE $. Kẻ $ HK⊥SE $với $ K∈SE $ nên $ HK⊥\left ( { SCD } \right ) $. Khi đó $ d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { H,\left ( { SCD } \right ) } \right ) =HK $. d) Đúng: Vì $ AB=a $ nên $ SH=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Do $ ABCD $ là hình vuông nên $ HE=a $. Vì $ SH⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SH⊥HE $. Khi đó $ \frac { 1 } { HK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HE ^ { 2 } }=\frac { 7 } { 3a ^ { 2 } } $, nên $ HK=\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $. Do $ AB $và $ (SCD) $ song song nên khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau $ AB $và $ SD $ bằng khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $ và bằng $ \frac { a\sqrt[] { 21 } } { 7 }. $