Một cây cầu được thiết kế theo dạng parabol đối xứng, bắc ngang con sông. Trong đó: - Dòng sông chảy theo trục $ Ox $, mặt nước sông nằm trong mặt phẳng $ z=0 $, - Cầu nằm trong mặt phẳng $ yOz $, nối từ:$ A(0;-5;0) $(bờ trái sông) đến $ B(0;5;0) $(bờ phải sông) - Cầu có dạng parabol đối xứng qua trục $ Oz $, với đỉnh tại $ H(0;0;h) $ - Trên sông có tàu container cao 6 mét, thân tàu rộng 4 mét và cần ít nhất 1 mét khoảng trống chiều cao an toàn, tức yêu cầu chiều cao cầu tối thiểu là 7 mét tại đoạn giữa sông từ $ y=-2 $ đến $ y=2 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ h $ để đảm bảo chiều cao cầu từ $ y=-2 $ đến $ y=2 $ luôn lớn hơn hoặc bằng$ 7 $ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Vì cầu nằm trong mặt phẳng $ yOz $, ta xét phương trình: $ z=ay ^ { 2 } +by+c $ Do parabol đối xứng qua trục $ Oz $, nên $ b=0⇒ $ z=ay ^ { 2 } +h\,(*) $ Vì cầu đi qua hai điểm:$ A(0;-5;0) $,$ B(0;5;0) $ Thay vào phương trình (*), ta được:$ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 0=a(-5) ^ { 2 } +h=25a+h \\ 0=a(5) ^ { 2 } +h=25a+h \\ \end{array} ⇒25a+h=0⇒a=-\frac { h } { 25 } \end{array} \right. $ Suy ra $ z=-\frac { h } { 25 }y ^ { 2 } +h $ Để tàu đi qua được cầu thì: $ z(y)=-\frac { h } { 25 }y ^ { 2 } +h\geq 7 $ với $ y\in [-2;2] $ Vì $ z(y) $ đạt giá trị nhỏ nhất tại $ y=±2⇒ $ z_{ \min } =-\frac { h } { 25 }⋅4+h=\frac { 21h } { 25 } $ Hay $ \frac { 21h } { 25 }\geq 7⇒h\geq \frac { 7⋅25 } { 21 }=\frac { 175 } { 21 }⇒h\geq \frac { 175 } { 21 }≈8,33( m) $