Để trang trí cho một viên gạch lót nền hình vuông cạnh $ a $ người ta làm như sau. Cho hình vuông $ H_{ 1 } $ có cạnh bằng $ a $. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $ H_{ 2 } $. Lặp lại cách làm như trên với hình vuông $ H_{ 2 } $ để được hình vuông $ H_{ 3 } $. Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông $ H_{ 1 } ,H_{ 2 } ,H_{ 3 } ,…,H_{ n } ,… $ Gọi $ s_{ n } $ là diện tích của hình vuông $ H_{ n } $. Nếu $ a=2 $ thì tổng diện tích các hình vuông được tạo thành là phân số có dạng $ \frac { p } { q };\left ( { p,q\in \mathbb{N}* } \right ) $, trong đó $ \frac { p } { q } $ tối giản. Khi đó $ p+q $ bằng bao nhiêu?

Ta xét một bước trong quá trình trang trí viên gạch. Từ hình vuông thứ $ i $ tạo ta hình vuông thứ $ i+1 $. Giả sử hình vuông thứ $ i $ có cạnh là $ a_{ i } $, diện tích là $ s_{ i } =a_{ i } ^{ 2 } $. Hình vuông thứ $ i+1 $có cạnh là $ a_{ i+1 } =\sqrt[] { \left ( { \frac { a_{ i } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 3.a_{ i } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } }=a_{ i } .\sqrt[] { \frac { 5 } { 8 } } $. Diện tích hình vuông thứ $ i+1 $ là: $ s_{ i+1 } =a_{ i+1 } ^{ 2 }=\frac { 5 } { 8 }.a_{ i } ^{ 2 }=\frac { 5 } { 8 }.s_{ i } $. Như vậy các diện tích $ s_{ 1 } ;s_{ 2 } ;s_{ 3 } ;...;s_{ n } ;... $lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là $ s_{ 1 } =a ^ { 2 } =4 $, công bội là $ q=\frac { 5 } { 8 } $. Tổng diện tích các hình vuông là $ s=s_{ 1 } +s_{ 2 } +s_{ 3 } +...+s_{ n } +...=\frac { 4 } { 1-\frac { 5 } { 8 } }=\frac { 32 } { 3 } $. Suy ra $ p=32;q=3 $nên $ p+q=32+3=35 $.