Đúng/Sai · Câu 4
(THPT Triệu Sơn 4 - Thanh Hóa 2025) Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng 1, có tâm $O$. Gọi $I$ là tâm của hình vuông $A'B'C'D'$ và $M$ là điểm thuộc đoạn thẳng $OI$ sao cho $MO = \frac{1}{2}MI$. Gắn hệ trục $A'xyz$ như hình vẽ.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Đúng
Lời giải
a) Chọn hệ trục tọa độ sao cho $A'(0;0;0), B'(1;0;0), D'(0;1;0)$ và $A(0;0;1)$ (như hình vẽ).
b) Điểm $M$ thuộc đoạn $OI$ sao cho $MO = \frac{1}{2}MI \Rightarrow M\Big(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}\Big)$. Do đó mệnh đề b) SAI.
c) Gọi $N(x_0; y_0; z_0)$. Ta có:
$$
\overrightarrow{AN} = (x_0; y_0; z_0 - 1), \quad \overrightarrow{B'N} = (x_0 - 1; y_0; z_0), \quad \overrightarrow{D'N} = (x_0; y_0 - 1; z_0)
$$
Do $\widehat{ANB'} = \widehat{B'ND'} = \widehat{D'NA} = 90^\circ$ nên:
$$
\begin{cases} \overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{B'N} = 0 \\ \overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{D'N} = 0 \\ \overrightarrow{D'N} \cdot \overrightarrow{B'N} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_0(x_0 - 1) + y_0^2 + (z_0 - 1)z_0 = 0 \\ x_0^2 + y_0(y_0 - 1) + (z_0 - 1)z_0 = 0 \\ x_0(x_0 - 1) + (y_0 - 1)y_0 + z_0^2 = 0 \end{cases}
$$
Giải hệ ta được $(x_0; y_0; z_0) = (0; 0; 0)$ hoặc $(x_0; y_0; z_0) = \Big(\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3}\Big)$.
Khi đó có hai điểm $N$ thỏa mãn điều kiện trên.
d) Ta có $\overrightarrow{A'P} = (1; 2; -2)$ và $\overrightarrow{A'Q} = \Big(\frac{8}{3}; \frac{4}{3}; \frac{8}{3}\Big)$, do đó $A'P = 3, A'Q = 4, PQ = 5$.
Với $J(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A'PQ$, ta có:
$$
PQ \cdot \overrightarrow{JA'} + A'P \cdot \overrightarrow{JQ} + A'Q \cdot \overrightarrow{JP} = \overrightarrow{0}
$$
Giải phương trình vectơ này ta tìm được tọa độ $J(1; 1; 0)$.
Vậy $a - b + c = 1 - 1 + 0 = 0$.