(THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa 2025) Trong không gian $ Oxyz $, cho $ A\left ( { 1\ ;\ 2\ ;\ 0 } \right ) $; $ B\left ( { 3\ ;\ -1\ ;\ 2 } \right ) $; $ C\left ( { 1\ ;\ 2\ ;\ 2 } \right ) $ và điểm$ M\in \left ( { Oxy } \right ) $. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T=MA ^ { 2 } +2MB ^ { 2 } -MC ^ { 2 } $.

+) Gọi $ I\left ( { x_{ I } \ ;\ y_{ I } \ ;\ z_{ I } } \right ) $ là điểm thỏa mãn $ \overset\rightarrow { IA }+2\overset\rightarrow { IB }-\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 } ⇔I\left ( { 3\ ;\ -1\ ;\ 1 } \right ) $. +) Ta có $ T=MA ^ { 2 } +2MB ^ { 2 } -MC ^ { 2 } $ $ =\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA } } \right ) ^ { 2 } +2\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { \overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IC } } \right ) ^ { 2 } $ =$ 2MI ^ { 2 } +\left ( { IA ^ { 2 } +2IB ^ { 2 } -IC ^ { 2 } } \right ) $. +) $ \overset\rightarrow { IA }=\left ( { -2\ ;\ 3\ ;\ -1 } \right );\ \overset\rightarrow { IB }=\left ( { 0\ ;\ 0\ ;\ 1 } \right );\overset\rightarrow { IC }=\left ( { -2\ ;\ 3\ ;\ 1 } \right ). $ Suy ra $ IA ^ { 2 } +2IB ^ { 2 } -IC ^ { 2 } =14+2-14=2 $ +) Gọi $ H $ là hình chiếu của $ I $ trên $ \left ( { Oxy } \right ) $. Ta có $ MI\geq IH=1,\ ∀M\in \left ( { Oxy } \right ) $. Vậy $ minT=4 $, khi $ MI=1 $ và $ M $$ \in \left ( { Oxy } \right ) $.