(THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa 2025) Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho $ A( -1; 2; 1) $,$ B( 2; -1; 3) $,$ C( 3; 5; -1) $. Điểm $ M( a; b; c) $ trên mặt phẳng $ \left ( { Oyz } \right ) $ sao cho $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB }-\overset\rightarrow { CM } } \right | $ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó ta có $ 2b+c $ bằng bao nhiêu?

Gọi $ G $là trọng tâm tam giác $ ABC $. $ \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB }-\overset\rightarrow { CM }= \overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { MB }+\overset\rightarrow { MC }+\overset\rightarrow { MB } =3\overset\rightarrow { MG }+\overset\rightarrow { MB } $ Nên $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB }-\overset\rightarrow { CM } } \right | =\left | { 3\overset\rightarrow { MG }+\overset\rightarrow { MB } } \right | =\left | { 3\overset\rightarrow { MN }+\overset\rightarrow { MN }+3\overset\rightarrow { NG }+\overset\rightarrow { NB } } \right | $ Gọi $ N $là điểm thỏa $ 3\overset\rightarrow { NG }+\overset\rightarrow { NB }=\overset\rightarrow { 0 } $nên $ \left | { 3\overset\rightarrow { MG }+\overset\rightarrow { MB } } \right |=\left | { 4\overset\rightarrow { MN } } \right | $. Để $ \left | { \overset\rightarrow { MA }+2\overset\rightarrow { MB }-\overset\rightarrow { CM } } \right | $ đạt giá trị nhỏ nhất thì $ \left | { 4\overset\rightarrow { MN } } \right | $ đạt giá trị nhỏ nhất hay $ M $ là hình chiếu của $ N $ lên mặt phẳng $ \left ( { Oyz } \right ) $. Tọa độ trọng tâm của tam giác $ ABC $ là: $ G\left ( { \frac { 4 } { 3 }; 2; 1 } \right ) $. $ 3\overset\rightarrow { NG }+\overset\rightarrow { NB }=\overset\rightarrow { 0 } $$ ⇔\left \{ \begin{array}{l} 3\left ( { x_{ G } -x_{ N } } \right )+\left ( { x_{ B } -x_{ N } } \right )=0 \\ 3\left ( { y_{ G } -y_{ N } } \right )+\left ( { y_{ B } -y_{ N } } \right )=0 \\ 3\left ( { z_{ G } -z_{ N } } \right )+\left ( { z_{ B } -z_{ N } } \right )=0 \end{array} \right. $$ ⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ N } =\frac { 1 } { 4 }\left ( { 3x_{ G } +x_{ B } } \right ) \\ y_{ N } =\frac { 1 } { 4 }\left ( { 3y_{ G } +y_{ B } } \right ) \\ z_{ N } =\frac { 1 } { 4 }\left ( { 3z_{ G } +z_{ B } } \right ) \end{array} \right. $$ ⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ N } =\frac { 1 } { 4 }\left ( { 3.\frac { 4 } { 3 }+2 } \right ) \\ y_{ N } =\frac { 1 } { 4 }\left ( { 3.2-1 } \right ) \\ z_{ N } =\frac { 1 } { 4 }\left ( { 3.1+3 } \right ) \end{array} \right. $$ ⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ N } =\frac { 3 } { 2 } \\ y_{ N } =\frac { 5 } { 4 } \\ z_{ N } =\frac { 3 } { 2 } \end{array} \right. $ nên $ N\left ( { \frac { 3 } { 2 }; \frac { 5 } { 4 }; \frac { 3 } { 2 } } \right ) $. Vậy tọa độ điểm $ M\left ( { 0; \frac { 5 } { 4 }; \frac { 3 } { 2 } } \right ) $ hay $ 2b+c=4 $.