Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^{2} + mx + n & \text{khi } x < -5 \\ x + 17 & \text{khi } -5 \le x \le 10 \\ mx + n + 10 & \text{khi } x > 10 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Khi đó:

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Lời giải a) Đúng. Ta có $f(-5) = -5 + 17 = 12$, $f(10) = 10 + 17 = 27$. b) Sai. Với $x < -5$ ta có $f(x) = x^{2} + mx + n$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(-\infty; -5)$. Với $-5 < x < 10$ ta có $f(x) = x + 17$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(-5; 10)$. Với $x > 10$ ta có $f(x) = mx + n + 10$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(10; +\infty)$. Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải liên tục tại $x = -5$ và $x = 10$. Ta có $f(-5) = 12$, $f(10) = 27$. $$ \lim_{x \to -5^{-}} f(x) = \lim_{x \to -5^{-}} (x^{2} + mx + n) = -5m + n + 25 $$ $$ \lim_{x \to -5^{+}} f(x) = \lim_{x \to -5^{+}} (x + 17) = 12 $$ $$ \lim_{x \to 10^{-}} f(x) = \lim_{x \to 10^{-}} (x + 17) = 27 $$ $$ \lim_{x \to 10^{+}} f(x) = \lim_{x \to 10^{+}} (mx + n + 10) = 10m + n + 10 $$ Hàm số liên tục tại $x = -5$ và $x = 10$ khi: $$ \begin{cases} -5m + n + 25 = 12 \\ 10m + n + 10 = 27 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -5m + n = -13 \\ 10m + n = 17 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = 2 \\ n = -3 \end{cases} $$ b) Sai. Ta có $m = 2 > 0$ nhưng $n = -3 < 0$ nên mệnh đề $m > 0,\ n > 0$ sai. c) Sai. Ta có $2m + n = 2 \cdot 2 + (-3) = 1$, không phải là số nguyên tố. d) Sai. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = m\sin x + n\cos x$ là $\sqrt{m^{2} + n^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \neq \sqrt{12}$.