Bài tập nâng cao · Bài 5
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 5
Tập $S$ gồm các số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số $0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;$$4;\,\,5;$$6;\,\,7;\,\,8$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$. Xác suất để số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau là:
Xem lời giải
Lời giải
Số phần tử của $S$ là $8.A_{8}^{5}=53760\Rightarrow n(\Omega)=53760$.
Vì số được chọn có 6 chữ số khác nhau nên ít nhất phải có hai chữ số chẵn, và vì không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau nên số được chọn có tối đa 3 chữ số chẵn.
Trường hợp 1: Số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn.
Xếp 4 số lẻ trước ta có $4!$ cách.
Xếp 2 số chẵn vào 5 khe trống giữa các số lẻ có $C_{5}^{2}.A_{5}^{2}-C_{4}^{1}.A_{4}^{1}$ (cách)
Trong trường hợp này có $4!\left( C_{5}^{2}.A_{5}^{2}-C_{4}^{1}.A_{4}^{1} \right)=4416$ (số).
Trường hợp 2: Số được chọn có đúng 3 chữ số chẵn.
Xếp 3 chữ số lẻ trước ta có $A_{4}^{3}$ cách.
Xếp 3 chữ số chẵn vào 4 khe trống giữa các số lẻ có $C_{5}^{3}.A_{4}^{3}-C_{4}^{2}.A_{3}^{2}$ (cách)
Trong trường hợp này có $A_{4}^{3}.\left( C_{5}^{3}.A_{4}^{3}-C_{4}^{2}.A_{3}^{2} \right)=4896$ (số).
Gọi $A$ là biến cố " số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau".
Suy ra: $n(A)=4416+4896=9312$.
Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{9312}{53760}=\frac{97}{560}$.
Vì số được chọn có 6 chữ số khác nhau nên ít nhất phải có hai chữ số chẵn, và vì không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau nên số được chọn có tối đa 3 chữ số chẵn.
Trường hợp 1: Số được chọn có đúng 2 chữ số chẵn.
Xếp 4 số lẻ trước ta có $4!$ cách.
Xếp 2 số chẵn vào 5 khe trống giữa các số lẻ có $C_{5}^{2}.A_{5}^{2}-C_{4}^{1}.A_{4}^{1}$ (cách)
Trong trường hợp này có $4!\left( C_{5}^{2}.A_{5}^{2}-C_{4}^{1}.A_{4}^{1} \right)=4416$ (số).
Trường hợp 2: Số được chọn có đúng 3 chữ số chẵn.
Xếp 3 chữ số lẻ trước ta có $A_{4}^{3}$ cách.
Xếp 3 chữ số chẵn vào 4 khe trống giữa các số lẻ có $C_{5}^{3}.A_{4}^{3}-C_{4}^{2}.A_{3}^{2}$ (cách)
Trong trường hợp này có $A_{4}^{3}.\left( C_{5}^{3}.A_{4}^{3}-C_{4}^{2}.A_{3}^{2} \right)=4896$ (số).
Gọi $A$ là biến cố " số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau".
Suy ra: $n(A)=4416+4896=9312$.
Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{9312}{53760}=\frac{97}{560}$.