Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $ Oxy $, cho tam giác $ ABC $ biết $ A\left ( { 2;\,3 } \right ) $, $ B\left ( { -1;\,4 } \right ) $ và $ C\left ( { -1;\,-2 } \right ) $.

a) Đúng. Ta có $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { -3;1 } \right ) $, $ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { -3;-5 } \right ) $ Khi đó $ \cos \widehat { BAC }=\frac { \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AC } } { \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AC } }=\frac { 9-5 } { \sqrt[] { 10 }\sqrt[] { 34 } }=\frac { 2 } { \sqrt[] { 85 } } $ b) Sai. Ta có: $ N∈Oy⇒N\left ( { 0;y } \right ) $suy ra $ \overset\rightarrow { AN }=\left ( { -2;y-3 } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { -3;1 } \right ) $ Để $ A,\,B,\,N $ thẳng hàng thì $ \overset\rightarrow { AN }=k\overset\rightarrow { AB }⇔\frac { x_{ \overset\rightarrow { AN } } } { x_{ \overset\rightarrow { AB } } }=\frac { y_{ \overset\rightarrow { AN } } } { y_{ \overset\rightarrow { AB } } } $ $ ⇔\frac { -2 } { -3 }=\frac { y-3 } { 1 } ⇔y-3=\frac { 2 } { 3 }⇔y=\frac { 11 } { 3 } $. Vậy $ N\left ( { 0;\frac { 11 } { 3 } } \right ) $ c) Sai. Gọi $ H\left ( { x;\,y } \right ) $ suy ra $ \overset\rightarrow { AH }=\left ( { x-2;y-3 } \right ) $, $ \overset\rightarrow { BH }=\left ( { x+1;y-4 } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { BC }=\left ( { 0;-6 } \right ) $ Do $ H $ là trực tâm của tam giác $ ABC $ nên ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AH }.\overset\rightarrow { BC }=0 \\  \overset\rightarrow { BH }.\overset\rightarrow { AC }=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \left ( { x-2 } \right )0+\left ( { y-3 } \right )\left ( { -6 } \right )=0 \\ \left ( { x+1 } \right )\left ( { -3 } \right )+\left ( { y-4 } \right )\left ( { -5 } \right )=0 \end{array} \right. $$ ⇔\left \{ \begin{array}{l} y=3 \\ x=\frac { 2 } { 3 } \end{array} \right. $.Vậy $ H\left ( { \frac { 2 } { 3 };3 } \right ) $ d) Đúng. Gọi $ M\left ( { x;0 } \right ) $ thì ta có $ \overset\rightarrow { AM }=\left ( { x-2;\,-3 } \right ) $; $ \overset\rightarrow { BM }=\left ( { x+1;\,-4 } \right ) $ $ MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } =\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } +9+\left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } +16=2x ^ { 2 } -2x+30 \\ ⇔MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } =2\left ( { x ^ { 2 } -x+15 } \right )=2\left ( { x-\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 59 } { 2 }≥\frac { 59 } { 2 } $ Vậy $ MA ^ { 2 } +MB ^ { 2 } $ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $ \frac { 59 } { 2 } $ khi $ x=\frac { 1 } { 2 } $. Khi đó $ M\left ( { \,\frac { 1 } { 2 };0 } \right ) $