Đúng/Sai · Câu 10
Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí $ A $ tới điểm $ B $ về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng $ 3\,\,{ \rm{ km } } $ (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến $ C $ và sau đó chạy đến $ B $, hay có thể chèo trực tiếp đến $ B $, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm $ D $ giữa $ C $ và $ B $ và sau đó chạy đến $ B $. Biết anh ấy có thể chèo thuyền với tốc độ $ 6\,\,{ \rm{ km/h } } $ và chạy với tốc độ $ 8\,\,{ \rm{ km/h } } $. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Gọi $ x\,\,\left ( { { \rm{ km } } } \right ) $ là độ dài quãng đường $ BD $. Khi đó:
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Sai
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng
Gọi $ x\,\,\left ( { { \rm{ km } } } \right ) $ là độ dài quãng đường $ BD $; $ 8-x\,\,\left ( { { \rm{ km } } } \right ) $ là độ dài quãng đường $ CD $.
Thời gian chèo thuyền trên quãng đường $ AD=\sqrt { x ^ { 2 } +9 } $ là: $ \frac { \sqrt { x ^ { 2 } +9 } } { 6 } $ (giờ)
Thời gian chạy trên quãng đường $ DB $ là: $ \frac { 8-x } { 8 } $ (giờ)
Tổng thời gian di chuyển từ $ A $ đến $ B $ là $ f\left ( { x } \right )=\frac { \sqrt { x ^ { 2 } +9 } } { 6 }+\frac { 8-x } { 8 } $
Xét hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { \sqrt { x ^ { 2 } +9 } } { 6 }+\frac { 8-x } { 8 } $ trên khoảng $ \left ( { 0;\,\,8 } \right ) $
Ta có $ f'\left ( { x } \right )=\frac { x } { 6\sqrt { x ^ { 2 } +9 } }-\frac { 1 } { 8 } $; $ f'\left ( { x } \right )=0⇔3\sqrt { x ^ { 2 } +9 }=4x⇔x=\frac { 9 } { \sqrt { 7 } } $
Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy thời gian ngắn nhất để di chuyển từ $ A $ đến $ B $ là $ 1+\frac { \sqrt { 7 } } { 8 }≈1 $ giờ $ 20 $ phút.
Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến $ B $ là $ 1+\frac { \sqrt { 7 } } { 8 }≈1 $ giờ $ 20 $ phút.