Cho hình chóp $ S.ABCD $ đáy $ ABCD $ là hình bình hành tâm $ O $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ SB $, $ G $là trọng tâm $ ΔSAD $,$ I $là giao điểm của $ GM $ và $ \left ( { ABCD } \right ) $, $ IC=2ID $,$ J $ là giao điểm của $ AD $và$ \left ( { OGM } \right ) $, $ K $là giao điểm của$ SA $ và$ \left ( { OGM } \right ) $. Tính $ k=\frac { IC } { ID }+\frac { JA } { JD }+\frac { KA } { KS } $

$ $ + Gọi $ E $là trung điểm $ AD $, $ I=MG∩BE ⇒I=MG∩(ABCD) $. + Xét $ ΔSBI $, gọi $ H $ là trung điểm $ MB $ Ta có $ \frac { SM } { SH }=\frac { SG } { SE }=\frac { 2 } { 3 }⇒EH//MG≡MI $nên $ E $là trung điểm của $ IB $, mà $ E $cũng là trung điểm của $ AD $nên tứ giác $ ABID $là hình bình hành, suy ra $ DI//AB $ Mà $ DC//AD $do đó $ I,C,D $ thẳng hàng + Xét $ ΔBCI $có $ ED//BC $ Mà $ E $là trung điểm của $ AD $ Suy ra $ D $ là trung điểm của $ CI $ $ ⇒\frac { IC } { ID }=2 $ (1) + Gọi $ J=OI∩AD⇒\left \{ \begin{array}{l} J∈AD \\ J∈(OMG) \end{array} \right.⇒J=AD∩(OMG) $. $ $Trong $ ΔACI $ có$ AD,\ IO $ là các đường trung tuyến, suy ra $ J $ là trọng tâm $ ΔACI $, $ ⇒\frac { JA } { JD }=2 $ (2) + Gọi $ K=JG∩SA⇒\left \{ \begin{array}{l} K∈SA \\ K∈JG⊂(OMG) \end{array} \right.⇒K=SA∩(OMG) $ $ ΔSIB $có $ SE $là trung tuyến mà $ \frac { SG } { SE }=\frac { 2 } { 3 } $suy ra $ G $là trọng tâm $ ΔSIB \frac { IG } { IM }=\frac { 2 } { 3 } $ Do $ \frac { IG } { IM }=\frac { IJ } { IO }=\frac { 2 } { 3 }⇒JG//OM//SD⇒JK//SD⇒\frac { KA } { KS }=\frac { JA } { JD }=2 $(3) Từ (1),(2),(3) $ ⇒k=\frac { IC } { ID }+\frac { JA } { JD }+\frac { KA } { KS }=6 $