Cho hai đồ thị $y = \frac{1}{x}$ và $y = \sqrt{x}$ cắt nhau tại điểm $A(1;1)$. Cho $t > 1$. Đường thẳng $y = t$ lần lượt cắt đồ thị $y = \frac{1}{x}$ và $y = \sqrt{x}$ tại các điểm $B$ và $C$. Từ $C$ kẻ đường thẳng song song với trục $Ox$, cắt đồ thị $y = \frac{1}{x}$ tại điểm $D$. Gọi $f(t)$ là diện tích tam giác $ACB$, và $g(t)$ là diện tích tam giác $ADC$. Tính $\lim_{t \to 1^{+}} \frac{g(t)}{f(t)}$.

Lời giải Ta có tọa độ các điểm $A(1; 1)$, $B\left(\frac{1}{t}; t\right)$, $C(t^{2}; t)$, $D\left(t^{2}; \frac{1}{t^{2}}\right)$. Ta được: $$ \left\{\begin{array}{l} f(t) = \frac{1}{2}\Big(t^{2} - \frac{1}{t}\Big)(t - 1) \\ g(t) = \frac{1}{2}\Big(t - \frac{1}{t^{2}}\Big)(t^{2} - 1) \end{array}\right. $$ Suy ra: $$ \lim_{t \to 1^{+}} \frac{g(t)}{f(t)} = \lim_{t \to 1^{+}} \frac{\Big(\frac{t^{3} - 1}{t^{2}}\Big)(t - 1)(t + 1)}{\Big(\frac{t^{3} - 1}{t}\Big)(t - 1)} = \lim_{t \to 1^{+}} \frac{t + 1}{t} = 2 $$