Cho tam giác $ ABC. $ Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Lời giải a) Do $A, B, C$ là ba góc trong tam giác nên $A + B + C = 180^{\circ}$. Ta có: $$ \tan(2A + B + C) = \tan(A + A + B + C) = \tan(A + 180^{\circ}) = \tan A $$ b) Ta có $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90^{\circ}$ nên: $$ \tan\Big(\frac{A}{2} + \frac{B}{2} - \frac{C}{2}\Big) = \cot\Big[90^{\circ} - \Big(\frac{A}{2} + \frac{B}{2} - \frac{C}{2}\Big)\Big] $$ $$ = \cot\Big[\Big(\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}\Big) - \Big(\frac{A}{2} + \frac{B}{2} - \frac{C}{2}\Big)\Big] = \cot C $$ c) Ta có: $$ \cos B \cdot \cos C = \sin B \cdot \sin C \Leftrightarrow \frac{1}{2}\Big[\cos(B - C) + \cos(B + C)\Big] = \frac{1}{2}\Big[\cos(B - C) - \cos(B + C)\Big] $$ $$ \Leftrightarrow \cos(B + C) = 0 \Leftrightarrow B + C = 90^{\circ} $$ Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$ chứ không phải tam giác cân. d) Ta có: $$ \sin A + \sin B - \sin C = 2\sin\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2} - \sin\left(2 \cdot \frac{C}{2}\right) $$ Do $\frac{A + B}{2} + \frac{C}{2} = 90^{\circ}$ nên $\sin\frac{A + B}{2} = \cos\frac{C}{2}$ và $\sin\frac{C}{2} = \cos\frac{A + B}{2}$. $$ \Rightarrow \sin A + \sin B - \sin C = 2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2} - 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2} $$ $$ = 2\cos\frac{C}{2}\Big(\cos\frac{A - B}{2} - \cos\frac{A + B}{2}\Big) = 2\cos\frac{C}{2} \cdot (-2)\sin\frac{A}{2}\sin\Big(-\frac{B}{2}\Big) = 4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} $$ Biểu thức thu được là $4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$, khác với vế phải $4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$ mà đề bài đưa ra, nên khẳng định d) sai.