Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{3x + 1}}{x - 1} & \text{khi } x \neq 1 \\ a^2 + ax - \frac{8}{3} & \text{khi } x = 1 \end{cases}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để hàm số liên tục tại $x_0 = 1$?

Lời giải Ta có: $$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt{3x + 1}}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x + 7} - 2}{x - 1} + \lim_{x \to 1} \frac{2 - \sqrt{3x + 1}}{x - 1} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)\Big(\sqrt[3]{(x + 7)^2} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4\Big)} + \lim_{x \to 1} \frac{-3(x - 1)}{(x - 1)\Big(2 + \sqrt{3x + 1}\Big)} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt[3]{(x + 7)^2} + 2\sqrt[3]{x + 7} + 4} + \lim_{x \to 1} \frac{-3}{2 + \sqrt{3x + 1}} = \frac{1}{12} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{3} $$ Ta có $f(1) = a^2 + a - \frac{8}{3}$. Để hàm số liên tục tại $x = 1$: $$ \Leftrightarrow a^2 + a - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3} \Leftrightarrow a^2 + a - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1 \\ a = -2 \end{array} \right. $$