Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} & \text{khi } x > 0 \\ mx + m + \frac{1}{4} & \text{khi } x \leq 0 \end{cases}$, $m$ là tham số. Tìm giá trị của $m$ để hàm số có giới hạn tại $x = 0$.

Lời giải Ta có: $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(x+4)-4}{x\Big(\sqrt{x+4}+2\Big)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{4} $$ $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \Big(mx + m + \frac{1}{4}\Big) = m + \frac{1}{4} $$ Hàm số đã cho có giới hạn tại $x = 0$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) \Leftrightarrow \frac{1}{4} = m + \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0 $$ Vậy $m = 0$.