Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} & \text{khi } x > 3 \\ x+m & \text{khi } x \leq 3 \end{cases}$ với $m$ là tham số

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải a) Đúng. Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}$. b) Đúng. Ta có: $$ \lim_{x \to 8} f(x) = \lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} = \frac{\sqrt{8+1}-2}{8-3} = \frac{1}{5} $$ c) Sai. Ta có: $$ \lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{1}{\sqrt{x+1}+2} = \frac{1}{4} $$ $$ \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3^{-}} (x+m) = 3+m $$ Hàm số có giới hạn tại điểm $x=3$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3^{-}} f(x) \iff \frac{1}{4} = m+3 \iff m = -\frac{11}{4} $$ d) Đúng. Ta có: $$ \lim_{x \to 0} \frac{f^{2}(x)+f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+m)^{2}+x+m}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}+(2m+1)x+m^{2}+m}{x} $$ Để $\lim_{x \to 0} \frac{f^{2}(x)+f(x)}{x}$ là một số hữu hạn thì số hạng tự do của tử số phải bằng 0, tức là $m^{2}+m=0 \iff \begin{cases} m=0 \\ m=-1 \end{cases}$. - Với $m=0$ thì: $$ \lim_{x \to 0} \frac{f^{2}(x)+f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}+x}{x} = \lim_{x \to 0} (x+1) = 1 $$ - Với $m=-1$ thì: $$ \lim_{x \to 0} \frac{f^{2}(x)+f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}-x}{x} = \lim_{x \to 0} (x-1) = -1 $$ Vậy có 2 giá trị của tham số $m$ để $\lim_{x \to 0} \frac{f^{2}(x)+f(x)}{x}$ là một số hữu hạn.