Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \frac { \sqrt[] { x+4 }-2 } { x }{ \rm{ khi } }x>0 \\ mx+m+\frac { 1 } { 4 }{ \rm{ khi } }x≤0 \end{array} \right. $, $ m $ là tham số. Tìm giá trị của $ m $ để hàm số có giới hạn tại $ x=0 $.

Lời giải Ta có: $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(x+4)-4}{x\Big(\sqrt{x+4}+2\Big)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{4} $$ $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \Big(mx + m + \frac{1}{4}\Big) = m + \frac{1}{4} $$ Hàm số đã cho có giới hạn tại $x = 0$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) \Leftrightarrow \frac{1}{4} = m + \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0 $$ Vậy $m = 0$.