Tính tổng các giá trị tìm được của tham số $m$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} m^2 x^2 & \text{khi } x \leq 1 \\ (2 - m)x & \text{khi } x > 1 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Lời giải Hàm số liên tục trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Do đó, để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải liên tục tại $x = 1$. Ta có: $$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (m^2 x^2) = m^2 $$ $$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2 - m)x = 2 - m $$ $$f(1) = m^2$$ Để hàm số liên tục tại $x = 1$ thì $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$: $$ m^2 = 2 - m \Leftrightarrow m^2 + m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1 \\ m = -2 \end{array} \right. $$ Tổng các giá trị của $m$ là $1 + (-2) = -1$.