Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} & \text{khi } x > 0 \\ mx^2 + 2m + \frac{1}{4} & \text{khi } x \leq 0 \end{cases}$, với $m$ là tham số. Tìm $m$ để $\lim_{x \to 0} f(x)$ tồn tại.

Lời giải Ta có: $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \Big(mx^2 + 2m + \frac{1}{4}\Big) = 2m + \frac{1}{4} $$ $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x\Big(\sqrt{x + 4} + 2\Big)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2} = \frac{1}{4} $$ Để $\lim_{x \to 0} f(x)$ tồn tại thì $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \Leftrightarrow 2m + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 0$.