Đúng/Sai · Câu 14
Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} & \text{khi } x > 3 \\ x+m & \text{khi } x \leq 3 \end{cases}$ với $m$ là tham số
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
Lời giải
a) Đúng. Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}$.
b) Đúng. Ta có:
$$
\lim_{x \to 8} f(x) = \lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} = \frac{\sqrt{8+1}-2}{8-3} = \frac{1}{5}
$$
c) Sai. Ta có:
$$
\lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{1}{\sqrt{x+1}+2} = \frac{1}{4}
$$
$$
\lim_{x \to 3^{-}} f(x) = \lim_{x \to 3^{-}} (x+m) = 3+m
$$
Hàm số có giới hạn tại điểm $x=3$ khi và chỉ khi:
$$
\lim_{x \to 3^{+}} f(x) = \lim_{x \to 3^{-}} f(x) \iff \frac{1}{4} = 3+m \iff m = -\frac{11}{4}
$$
d) Đúng. Ta có với $x$ gần 0 ($x \leq 3$):
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f^{2}(x)+f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+m)^{2}+(x+m)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}+(2m+1)x+m^{2}+m}{x}
$$
Để giới hạn này là một số hữu hạn thì số hạng tự do trên tử phải bằng 0, tức là:
$$
m^{2}+m = 0 \iff \begin{cases} m=0 \\ m=-1 \end{cases}
$$
Vậy có đúng 2 giá trị của tham số $m$ thỏa mãn.