Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 2 } +ax+b } { x-1 } $ và $ g\left ( { x } \right )=x+a $ ($ a,b $ là các tham số).

a) Sai. $ \lim\limits_{ x→+∞ } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→+∞ } \frac { x ^ { 2 } +ax+b } { x-1 }=\lim\limits_{ x→+∞ } \frac { x ^ { 2 } \left ( { 1+\frac { a } { x }+\frac { b } { x ^ { 2 } } } \right ) } { x\left ( { 1-\frac { 1 } { x } } \right ) }=\lim\limits_{ x→+∞ } x\frac { 1+\frac { a } { x }+\frac { b } { x ^ { 2 } } } { 1-\frac { 1 } { x } }=+∞ $ vì $ \lim\limits_{ x→+∞ } x=+∞ $ và $ \lim\limits_{ x→+∞ } \frac { 1+\frac { a } { x }+\frac { b } { x ^ { 2 } } } { 1-\frac { 1 } { x } }=1 $. b) Đúng. $ \lim\limits_{ x→-∞ } \left[ f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right ) \right]=\lim\limits_{ x→-∞ } \left[ \frac { x ^ { 2 } +ax+b } { x-1 }-\left ( { x+a } \right ) \right]=\lim\limits_{ x→-∞ } \frac { x+a+b } { x-1 }=1 $. c) Sai. $ \lim\limits_{ x→2 } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→2 } \frac { x ^ { 2 } +ax+b } { x-1 }=4+2a+b $ và $ \lim\limits_{ x→2 } g\left ( { x } \right )=2+a $. Do $ \lim\limits_{ x→2 } f\left ( { x } \right )=-3 $ và $ \lim\limits_{ x→2 } g\left ( { x } \right )=0 $ nên ta có hệ $ \left \{ \begin{array}{l} 4+2a+b=-3 \\ 2+a=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=-2 \\ b=-3 \end{array} \right. $. d) Sai. TH1: $ 1 ^ { 2 } +a.1+b≠0 $ thì $ \lim\limits_{ x→1 } f\left ( { x } \right )=∞ $ nên không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. TH2: $ 1 ^ { 2 } +a.1+b=0 $ hay $ b=-a-1 $. Ta có: $ \lim\limits_{ x→1 } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→1 } \frac { x ^ { 2 } +ax+b } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { x ^ { 2 } +ax-a-1 } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { \left ( { x-1 } \right )\left ( { x+1+a } \right ) } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 } \left ( { x+1+a } \right )=2+a $. Mà $ \lim\limits_{ x→1 } f\left ( { x } \right )=5 $ nên $ a=3 $. Từ đó, ta có $ b=-4 $. Vậy $ a+b=-1 $.