Cho các dãy số $ \left ( { a_{ n } } \right ),\left ( { b_{ n } } \right ),\left ( { c_{ n } } \right ) $ với $ a_{ n } =n\left ( { n+2 } \right )+2024 $, $ b_{ n } =\frac { 1 } { a_{ n } }+\frac { 2 } { a_{ n } }+\frac { 3 } { a_{ n } }+...+\frac { n } { a_{ n } } $ và $ c_{ n } =\frac { 1 } { a_{ 1 } -2024 }+\frac { 1 } { a_{ 2 } -2024 }+\ldots +\frac { 1 } { a_{ n } -2024 }. $

a) Sai vì ta có $ \frac { 1 } { a_{ n } -2024 }=\frac { 1 } { n\left ( { n+2 } \right ) }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { n }-\frac { 1 } { n+2 } } \right )⇒\lim\left ( { \frac { 1 } { a_{ n } -2024 } } \right )=0 $ b) Đúng vì ta có $ c_{ n } =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { 1 }-\frac { 1 } { 3 }+\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { 4 }+\frac { 1 } { 3 }-\frac { 1 } { 5 }+\ldots+\frac { 1 } { n-1 }-\frac { 1 } { n+1 }+\frac { 1 } { n }-\frac { 1 } { n+2 } } \right ) $ $ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { 1+\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { n+1 }-\frac { 1 } { n+2 } } \right ). $ c) Đúng vì $ \lim b_{ n } =\lim\left ( { \frac { 1+2+3+\ldots +n } { a_{ n } } } \right )=\lim\frac { \frac { n\left ( { n+1 } \right ) } { 2 } } { n\left ( { n+2 } \right )+2024 } $ $ =\lim\left ( { \frac { 1 } { 2 }.\frac { n ^ { 2 } +n } { n ^ { 2 } +2n+2024 } } \right )=\lim\left ( { \frac { 1 } { 2 }.\frac { 1+\frac { 1 } { n } } { 1+\frac { 2 } { n }+\frac { 2024 } { n ^ { 2 } } } } \right )=\frac { 1 } { 2 } $. d) Sai vì ta có: $ \lim c_{ n } =\lim\left[ \frac { 1 } { 2 }\left ( { 1+\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { n+1 }-\frac { 1 } { n+2 } } \right ) \right]=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 1+\frac { 1 } { 2 } } \right )=\frac { 3 } { 4 } $ Nên $ \lim\frac { b_{ n } } { c_{ n } }=\frac { \lim b_{ n } } { \lim c_{ n } }=\frac { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 3 } { 4 } }=\frac { 2 } { 3 } $.