Cho hàm số $f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x - 1}$ và $g(x) = x + a$ ($a, b$ là các tham số).

a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai Lời giải a) Ta có: $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 \Big(1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2}\Big)}{x\Big(1 - \frac{1}{x}\Big)} = \lim_{x \to +\infty} x \cdot \frac{1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2}}{1 - \frac{1}{x}} = +\infty $$ Vì $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ và $\lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2}}{1 - \frac{1}{x}} = 1$. b) Ta có: $$ \lim_{x \to -\infty} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to -\infty} \left[ \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} - (x + a) \right] = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + a + b}{x - 1} = 1 $$ c) Ta có $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 4 + 2a + b$ và $\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} (x + a) = 2 + a$. Do $\lim_{x \to 2} f(x) = -3$ và $\lim_{x \to 2} g(x) = 0$ nên ta có hệ phương trình: $$ \begin{cases} 4 + 2a + b = -3 \\ 2 + a = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -2 \\ b = -3 \end{cases} $$ d) Sai vì TH1: nếu $1^2 + a \cdot 1 + b \neq 0$ thì $\lim_{x \to 1} f(x) = \infty$, không thỏa mãn yêu cầu bài toán. TH2: nếu $1^2 + a \cdot 1 + b = 0$, tức $b = -a - 1$, ta có: $$ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - a - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1 + a)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1 + a) = 2 + a $$ Mà $\lim_{x \to 1} f(x) = 5$ nên $a = 3$, suy ra $b = -4$. Vậy $a + b = -1$.