Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{5x^{2} + 4} - 3}{x - 1} & \text{khi } x < 1 \\ \frac{2m + 3}{3} & \text{khi } x \geq 1 \end{cases}$. Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$.

Lời giải Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ta có: $f(1) = \frac{2m + 3}{3}$ và: $$ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \frac{2m + 3}{3} $$ Tính giới hạn bên trái: $$ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\sqrt{5x^{2} + 4} - 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{5(x^{2} - 1)}{(x - 1)\Big(\sqrt{5x^{2} + 4} + 3\Big)} $$ $$ = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{5(x + 1)}{\sqrt{5x^{2} + 4} + 3} = \frac{5}{3} $$ Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = f(1) $$ $$ \Leftrightarrow \frac{2m + 3}{3} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow m = 1 $$ Vậy giá trị cần tìm là $m = 1$.