Một trận dịch lây lan đến mức sau khi bùng phát $ t $ tuần số người nhiễm bệnh là $ N_{ 1 } (t)=0,1t ^ { 2 } +0,5t+150,0\leq t\leq 50. $Hai mươi lăm tuần sau khi dịch bệnh bùng phát, một loại vắc xin đã được phát triển và tiêm cho công chúng. Khi đó, số người nhiễm bệnh được điều chỉnh theo mô hình $ N_{ 2 } (t)=-0,2t ^ { 2 } +6t+200,25\leq t\leq 50. $ Hãy ước tính gần đúng số người mà vắc xin đã ngăn ngừa khỏi dịch bệnh trong thời gian xảy ra dịch bệnh.

Trả lời: 4531 Thời gian $ t $ mà dịch bệnh kết thúc thoả mãn phương trình $ -0,2t ^ { 2 } +6t+200=0\Leftrightarrow t=50{ \rm{ } }{ \rm{ (vì} }t\geq 0{ \rm{). } }{ \rm{ } } $ Như vậy khi có vắc xin tiêm cho công chúng từ tuần thứ hai mươi lăm tới tuần thứ năm mươi thì kết thúc dịch (theo mô hình chỉ ra). Số người mà vắc xin đã ngăn ngừa khỏi dịch bệnh trong thời gian xảy ra dịch bệnh là $ \int _{ 25 }^{ 50 } { \left[ N_{ 1 } (t)-N_{ 2 } (t) \right] }dt=\int _{ 25 }^{ 50 } { \left ( { 0,3t ^ { 2 } -5,5t-50 } \right ) }dt \\ =\left. { \left ( { 0,1t ^ { 3 } -5,5\cdot \frac { t ^ { 2 } } { 2 }-50t } \right ) } \right|_{ 25 }^{ 50 }\approx 4531. $