Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác $ABC$ được gọi là tam giác trung bình của tam giác $ABC$. Ta xây dựng dãy các tam giác $A_1B_1C_1, A_2B_2C_2, A_3B_3C_3, ...$ sao cho $A_1B_1C_1$ là một tam giác đều cạnh bằng $3$ và với mỗi số nguyên dương $n \geq 2$, tam giác $A_nB_nC_n$ là tam giác trung bình của tam giác $A_{n-1}B_{n-1}C_{n-1}$. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $S_n$ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác $A_nB_nC_n$. Tổng $S = S_1 + S_2 + ... + S_n + ... = a\pi$. Tìm $a$?

Lời giải Vì dãy các tam giác $A_1B_1C_1, A_2B_2C_2, A_3B_3C_3, ...$ là các tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác bằng $\text{cạnh} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$. - Với $n = 1$: tam giác đều $A_1B_1C_1$ có cạnh bằng $3$ nên đường tròn ngoại tiếp có bán kính $R_1 = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow S_1 = \pi \cdot \Big( 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \Big)^2 = 3\pi$. - Với $n = 2$: tam giác đều $A_2B_2C_2$ có cạnh bằng $\frac{3}{2}$ nên đường tròn ngoại tiếp có bán kính $R_2 = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow S_2 = \pi \cdot \Big( 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \Big)^2 = 3\pi \cdot \frac{1}{4}$. - Với $n = 3$: tam giác đều $A_3B_3C_3$ có cạnh bằng $\frac{3}{4}$ nên đường tròn ngoại tiếp có bán kính $R_3 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow S_3 = \pi \cdot \Big( 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \Big)^2 = 3\pi \cdot \frac{1}{16}$. Như vậy, tam giác đều $A_nB_nC_n$ có cạnh bằng $3 \cdot \Big(\frac{1}{2}\Big)^{n-1}$ nên đường tròn ngoại tiếp có bán kính $R_n = 3 \cdot \Big(\frac{1}{2}\Big)^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow S_n = \pi \cdot \Big( 3 \cdot \Big(\frac{1}{2}\Big)^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \Big)^2 = 3\pi \cdot \Big(\frac{1}{4}\Big)^{n-1}$. Khi đó, dãy số $S_1, S_2, ..., S_n, ...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1 = S_1 = 3\pi$ và công bội $q = \frac{1}{4}$. Do đó, tổng diện tích là: $$ S = S_1 + S_2 + ... + S_n + ... = \frac{u_1}{1 - q} = \frac{3\pi}{1 - \frac{1}{4}} = 4\pi $$ Suy ra $a = 4$.