Bài tập nâng cao · Bài 59
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 59
Có bao nhiêu số có 4 chữ số được viết từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ sao cho số đó chia hết cho 15?
Xem lời giải
Lời giải
Đặt tập $E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$.
Gọi số cần tìm có dạng $x=abcd$. Vì $x\vdots15\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x\vdots3\\x\vdots5\end{array}\right.\Rightarrow d=5$ hay $d$ có 1 cách chọn.
Chọn $a$ có 9 cách $(a\in E)$.
Chọn $b$ có 9 cách $(b\in E)$.
Khi đó tổng $a+b+d$ sẽ chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 hoặc chia 3 dư 2 nên tương ứng trong từng trường hợp $c$ sẽ chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2 hoặc chia 3 dư 1.
Nhận xét
Các số chia hết cho 3: $3$, $6$, $9$.
Các số chia 3 dư 1: $1$, $4$, $7$.
Các số chia 3 dư 2: $2$, $5$, $8$.
Với mỗi trường hợp của tổng $a+b+d$ ta luôn có 3 cách chọn số $c$.
Vậy có $1\cdot9\cdot9\cdot3=243$ số thỏa yêu cầu.
Gọi số cần tìm có dạng $x=abcd$. Vì $x\vdots15\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x\vdots3\\x\vdots5\end{array}\right.\Rightarrow d=5$ hay $d$ có 1 cách chọn.
Chọn $a$ có 9 cách $(a\in E)$.
Chọn $b$ có 9 cách $(b\in E)$.
Khi đó tổng $a+b+d$ sẽ chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 hoặc chia 3 dư 2 nên tương ứng trong từng trường hợp $c$ sẽ chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 2 hoặc chia 3 dư 1.
Nhận xét
Các số chia hết cho 3: $3$, $6$, $9$.
Các số chia 3 dư 1: $1$, $4$, $7$.
Các số chia 3 dư 2: $2$, $5$, $8$.
Với mỗi trường hợp của tổng $a+b+d$ ta luôn có 3 cách chọn số $c$.
Vậy có $1\cdot9\cdot9\cdot3=243$ số thỏa yêu cầu.