Đúng/Sai · Câu 4
Trong không gian $ Oxyz $, cho mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có phương trình $ \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z+3 } \right ) ^ { 2 } =14 $ và điểm $ M\left ( { -1;\,-3;\,-2 } \right ) $.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
a) Đúng.
Mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có tâm là $ I\left ( { -1;\,-2;\,-3 } \right ) $.
b) Sai.
Ta có: $ IM=\sqrt[] { \left ( { -1+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -3+2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -2+3 } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 2 } $.
c) Đúng.
Ta có $ IM=\sqrt[] { 2 } $ và mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có bán kính $ R=\sqrt[] { 14 } ⇒IM < R $.
Vậy điểm $ M $ nằm trong mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $.
d) Sai.
Do điểm $ M $ nằm trong mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ nên mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ đi qua $ M $ luôn cắt mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ theo giao tuyến là một đường tròn.
Gọi $ H $ là tâm của đường tròn giao tuyến $ ⇒IH⊥\left ( { P } \right ) $, do đó bán kính đường tròn giao tuyến là $ r=\sqrt[] { R ^ { 2 } -IH ^ { 2 } }=\sqrt[] { 14-IH ^ { 2 } } $. Suy ra bán kính $ r $ nhỏ nhất khi $ IH $ lớn nhất.
Ta có: $ IH\leq IM⇔IH\leq \sqrt[] { 2 }\,⇒maxIH=\sqrt[] { 2 } $ khi $ M $ trùng $ H $, khi đó $ IM⊥\left ( { P } \right ) $.
Mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ đi qua $ M $ và có vectơ pháp tuyến $ \overset\rightarrow { IM }=\left ( { 0;\,-1;\,1 } \right ) $.
Vậy phương trình mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ là $ 0.\left ( { x+1 } \right )-\left ( { y+3 } \right )+\left ( { z+2 } \right )=0⇔y-z+1=0 $.