(Sở Vùng Tàu 2025) Trong không gian với hệ trục tọa độ $ Oxyz $, cho hai điểm $ A\left ( { 1;0;-1 } \right ) $ và $ B\left ( { -2;3;-1 } \right ) $. Xét điểm $ M $ thay đổi thỏa mãn $ MB=2MA $ và điểm $ N\left ( { a;b;c } \right ) $thuộc mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):x+2y-2z+7=0 $sao cho đoạn thẳng $ MN $ ngắn nhất. Hỏi giá trị biểu thức $ T=a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } $ bằng bao nhiêu?

Gọi $ M\left ( { x;y;z } \right ) $, ta có: $ MB=2MA⇔MB ^ { 2 } =4MA ^ { 2 } $ $ ⇔\left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z+1 } \right ) ^ { 2 } =4\left[ \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +y ^ { 2 } +\left ( { z+1 } \right ) ^ { 2 } \right] \ ⇔3x ^ { 2 } +3y ^ { 2 } +3z ^ { 2 } -12x+6y+6z-6=0 \ ⇔x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -4x+2y+2z-2=0 $ Vậy $ M $ thuộc mặt cầu tâm $ I\left ( { 2;-1;-1 } \right ) $, bán kính $ R=2\sqrt[] { 2 } $ Đoạn thẳng $ MN $ ngắn nhất khi $ N $ là hình chiếu của $ I $lên $ \left ( { P } \right ) $ và $ M $ là giao điểm của $ IN $ với mặt cầu. Gọi $ Δ $ là đường thẳng qua $ I $và vuông góc với $ \left ( { P } \right ) $. Khi đó: $ Δ:\left \{ \begin{array}{l} x=2+t \\ y=-1+2t \\ z=-1-2t \end{array} \right.{ \rm{ } }{ \rm{ } }⇒N\left ( { 2+t;-1+2t;-1-2t } \right ) $. Do $ N $ thuộc $ \left ( { P } \right ) $ nên ta có: $ \left ( { P } \right ):2+t+2\left ( { -1+2t } \right )-2\left ( { -1-2t } \right )+7=0 \\ ⇔9t=-9 \\ ⇔t=-1 $. Vậy $ N\left ( { 1;-3;1 } \right ) $suy ra $ T=a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } =11 $.