(Sở Sơn La 2025) Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxy, $ cho mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):2x-y+2z+5=0 $ và các điểm $ A\left ( { 0;0;4 } \right ),B\left ( { 2;0;0 } \right ) $. mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $có bán kính nhỏ nhất đi qua các điểm $ A,B,O $và tiếp xúc với mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $có tâm là điểm $ I $. Tung độ của điểm $ I $bằng bao nhiêu?

Ta có tam giác $ OAB $vuông tại các điểm $ O $. Gọi điểm $ I\left ( { x;y;z } \right ) $trong không gian cách đều các điểm $ A,B,O $có tọa độ thỏa mãn $ \left \{ \begin{array}{l} AI ^ { 2 } =BI ^ { 2 } \\ AI ^ { 2 } =OI ^ { 2 } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +\left ( { z-4 } \right ) ^ { 2 } =\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } +y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \\ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +\left ( { z-4 } \right ) ^ { 2 } =x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x-2z=-3 \\ z=2 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x=1 \\ z=2 \end{array} \right. $ Vậy $ I\left ( { 1;y;2 } \right ) $ Mặt khác mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ đi qua các điểm $ A,B,O $và tiếp xúc với mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $có tâm là điểm $ I $ Suy ra $ d\left ( { I;(P) } \right )=OI⇔\frac { \left | { 2.1-y+2.2+5 } \right | } { \sqrt[] { 2 ^ { 2 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } }=\sqrt[] { 1 ^ { 2 } +y ^ { 2 } +2 ^ { 2 } }⇔\left ( { 11-y } \right ) ^ { 2 } =9\left ( { 5+y ^ { 2 } } \right )⇔\left[ y=2 \ y=-\frac { 19 } { 4 } \right. $ Ta có $ \left[ y=2⇒R=OI=3 \ y=-\frac { 19 } { 4 }⇒R=\sqrt[] { 5+\left ( { \frac { -19 } { 4 } } \right ) ^ { 2 } }>3 \right. $ Vậy $ I\left ( { 1;2;2 } \right ) $