(Sở Phú Thọ 2025) Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz, $ cho hai lớp kính lần lượt là hai mặt phẳng có phương trình $ (\alpha ):2x-2y-z+3\sqrt[] { 3 }=0,(\beta ):-4x+4y+2z+12\sqrt[] { 3 }=0. $Một nguồn sáng được chiếu vào hai tấm kính là tập hợp các đường thẳng có vectơ chỉ phương là $ u=(1;1;1) $ và đi qua các điểm $ M(3;0;0),N(1;1;1) $ và $ P(3;5;-5). $ Biết rằng các giao điểm của các đường thẳng nói trên với hai tấm kính $ (\alpha ) $ và $ (\beta ) $ là 6 đỉnh của một khối đa diện. Thể tích $ V $ của khối đa diện tạo bởi 6 điểm đó có kết quả là $ a\sqrt[] { b } $ với $ a,b $ nguyên dương và $ b $ là số nguyên tố. Tính giá trị của $ a+b. $

Gọi $ d_{ 1 } ,d_{ 2 } ,d_{ 3 } $ lần lượt là các đường thẳng qua $ M,N,P $ và có vec tơ chỉ phương $ u. $ Khi đó, ta được $ d_{ 1 } :\left \{ \begin{array}{l} x=3+t \\ y=t \\ z=t \end{array} \right.;d_{ 2 } :\left \{ \begin{array}{l} x=1+s \\ y=1+s \\ z=1+s \end{array} \right.;d_{ 3 } :\left \{ \begin{array}{l} x=3+l \\ y=5+l \\ z=-5+l \end{array} \right.. $ Gọi $ A,B,C $ lần lượt là giao điểm của $ d_{ 1 } ,d_{ 2 } ,d_{ 3 } $ với mặt phẳng $ (\alpha ):2x-2y-z+3\sqrt[] { 3 }=0. $ Khi đó, giải tìm các tham số ta được: $ A=d_{ 1 } ∩(\alpha )⇒t=6+3\sqrt[] { 3 }⇒A\left ( { 9+3\sqrt[] { 3 };6+3\sqrt[] { 3 };6+3\sqrt[] { 3 } } \right ) \\ B=d_{ 2 } ∩(\alpha )⇒s=-1+3\sqrt[] { 3 }⇒B\left ( { 3\sqrt[] { 3 };3\sqrt[] { 3 };3\sqrt[] { 3 } } \right ) \\ C=d_{ 3 } ∩(\alpha )⇒l=1+3\sqrt[] { 3 }⇒C\left ( { 4+3\sqrt[] { 3 };6+3\sqrt[] { 3 };-4+3\sqrt[] { 3 } } \right ). $ Ta có $ \overset\rightarrow { AB }=(-9;-6;-6),\overset\rightarrow { AC }=(-5;0;-10)⇒S_{ ΔABC } =\frac { 1 } { 2 }\left | { \left[ \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { AC } \right] } \right |=45 $ $ (\alpha ):2x-2y-z+3\sqrt[] { 3 }=0,(\beta ):-4x+4y+2z+12\sqrt[] { 3 }=0⇔2x-2y-z-6\sqrt[] { 3 }=0. $ Ta thấy $ (\alpha ) $ và mỗi lớp kính là một mặt phẳng nên đoạn khúc xạ trong mỗi tấm kính là không đáng kể. Mặt khác, các tia tới song song nên tia khúc xạ cũng song song. Do đó, mỗi lớp kính có độ khúc xạ bằng bao nhiêu đi nữa thì thể tích lăng trụ được tạo thành đều có thể tích không đổi và bằng $ V=S_{ ΔABC } .{ \rm{ d } }((\alpha ),(\beta )). $ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $ (\alpha ),(\beta ) $ là: $ d=\frac { 3\sqrt[] { 3 }+6\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 4+4+1 } }=3\sqrt[] { 3 } $ Thể tích lăng trụ là: $ V=S_{ ΔABC } .d=45.3\sqrt[] { 3 }=135\sqrt[] { 3 }⇒a=135,b=3. $ Vậy $ a+b=135+3=138. $