Hàm số $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -2x+2025 $ đồng biến trên khoảng $ \left ( { a\,;\,+∞ } \right ) $. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ a $?

Hàm số $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -2x+2025 $ xác định trên $ \mathbb{R} $. Hàm số đồng biến trên khoảng $ \left ( { a\,;\,+∞ } \right ) $ do đó với mọi $ x_{ 1 } $, $ x_{ 2 } $ là hai số tùy ý thuộc $ \left ( { a\,;\,+∞ } \right ) $ sao cho $ x_{ 1 } < x_{ 2 } $ suy ra: $ f\left ( { x_{ 1 } } \right ) < f\left ( { x_{ 2 } } \right )⇔f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right ) < 0 $. Ta có $ f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right )=\left ( { x_{ 1 } ^ { 2 } -2x_{ 1 } +2025 } \right )-\left ( { x_{ 2 } ^ { 2 } -2x_{ 2 } +2025 } \right )=\left ( { x_{ 1 } -x_{ 2 } } \right )\left ( { x_{ 1 } +x_{ 2 } -2 } \right ) $. $ f\left ( { x_{ 1 } } \right )-f\left ( { x_{ 2 } } \right ) < 0⇔\left ( { x_{ 1 } -x_{ 2 } } \right )\left ( { x_{ 1 } +x_{ 2 } -2 } \right ) < 0 $. Mặt khác, do $ x_{ 1 } $, $ x_{ 2 } $ thuộc khoảng $ \left ( { a\,;\,+∞ } \right ) $ và $ x_{ 1 } < x_{ 2 } $, ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ 1 } -x_{ 2 } < 0 \\ x_{ 1 } +x_{ 2 } -2>2a-2 \end{array} \right. $. Vậy $ \left ( { x_{ 1 } -x_{ 2 } } \right )\left ( { x_{ 1 } +x_{ 2 } -2 } \right ) < 0⇔x_{ 1 } +x_{ 2 } -2>0 $ với mọi $ x_{ 1 } $, $ x_{ 2 } $ thuộc khoảng $ \left ( { a\,;\,+∞ } \right ) $. Suy ra $ 2a-2≥0⇔a≥1 $. Vậy giá trị nhỏ nhất của $ a $ bằng $ 1 $.