Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho ba điểm $ A\left ( { a\,;0\,;0 } \right ) $, $ B\left ( { 0\,;b\,;0 } \right ) $, $ C\left ( { 0\,;0;c } \right ) $với $ a,\,b,\,c $đều dương.

a) Đúng. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $ A\left ( { a\,;0\,;0 } \right ) $, $ B\left ( { 0\,;b\,;0 } \right ) $, $ C\left ( { 0\,;0;c } \right ) $ là $ \frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1 $. b) Sai. $ G\left ( { 1;2;3 } \right ) $là trọng tâm tam giác $ ABC $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { a } { 3 }=1 \\ \frac { b } { 3 }=2 \\ \frac { c } { 3 }=3 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=3 \\ b=6 \\ c=9 \end{array} \right. $. Khi đó phương trình mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là $ \frac { x } { 3 }+\frac { y } { 6 }+\frac { z } { 9 }=1⇔6x+3y+2z-18=0 $. c) Đúng. Vì $ OA,\,OB,\,OC $đôi một vuông góc nên $ H\left ( { 1;1;1 } \right ) $ là trực tâm tam giác $ ABC $ thì $ \overset\rightarrow { OH }=\left ( { 1;1;1 } \right ) $ là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $. Khi đó, phương trình mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là $ x+y+z-3=0 $. d) Đúng. Phương trình mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $là $ \frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1 $. $ M\left ( { 2;-2;3 } \right ) $ thuộc mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ nên $ \frac { 2 } { a }-\frac { 2 } { b }+\frac { 3 } { c }=1\,\,\,\,\left ( { * } \right ) $. Vì độ dài $ OA,\,OB,\,OC $theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai bằng $ 2 $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} OB=OA+2 \\ OC=OA+4 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} b=a+2 \\ c=a+4 \end{array} \right. $. Thay $ b=a+2;\,c=a+4 $ vào $ \left ( { * } \right ) $ ta được $ \frac { 2 } { a }-\frac { 2 } { a+2 }+\frac { 3 } { a+4 }=1\,⇔a=2⇒b=4,c=6 $. Vậy phương trình mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $là $ \frac { x } { 2 }+\frac { y } { 4 }+\frac { z } { 6 }=1⇔6x+3y+2z-12=0 $. $ d\left ( { O;\left ( { ABC } \right ) } \right )=\frac { \left | { -12 } \right | } { \sqrt[] { 6 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } }=\frac { 12 } { 7 }⇒m=12,\,n=7⇒T=m+n=19. $