Bài tập nâng cao · Bài 3
Bài tập nâng cao Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 3
Không dùng bảng số và máy tính, rút gọn các biểu thức:
a) $A=\tan 18^{\circ}.\tan 288^{\circ}+\sin 32^{\circ}.\sin 148^{\circ}-\sin 302^{\circ}.\sin 122^{\circ}$.
b) $B=\frac{1+\sin^{4}a-\cos^{4}a}{1-\sin^{6}a-\cos^{6}a}$.
a) $A=\tan 18^{\circ}.\tan 288^{\circ}+\sin 32^{\circ}.\sin 148^{\circ}-\sin 302^{\circ}.\sin 122^{\circ}$.
b) $B=\frac{1+\sin^{4}a-\cos^{4}a}{1-\sin^{6}a-\cos^{6}a}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $A=\tan\left( 90^{\circ}-72^{\circ} \right).\tan\left( 360^{\circ}-72^{\circ} \right)+\sin 32^{\circ}.\sin\left( 180^{\circ}-32^{\circ} \right)-\sin\left( 360^{\circ}-58^{\circ} \right).\sin\left( 180^{\circ}-58^{\circ} \right)$ $=\cot 72^{\circ}.\left( -\tan 72^{\circ} \right)+\sin^{2}32^{\circ}+\sin^{2}58^{\circ}$ $=-1+\sin^{2}32^{\circ}+\cos^{2}32^{\circ}$ $=-1+1=0$.
b)$B=\frac{1+\left( \sin^{2}a+\cos^{2}a \right)\left( \sin^{2}a-\cos^{2}a \right)}{1-\left( \sin^{2}a+\cos^{2}a \right)\left( \sin^{4}a-\sin^{2}a\cos^{2}a+\cos^{4}a \right)}$ $=\frac{1+\sin^{2}a-\cos^{2}a}{1-\left[ \left( \sin^{2}a+\cos^{2}a \right)^{2}-3\sin^{2}a\cos^{2}a \right]}$ $=\frac{2\sin^{2}a}{3\sin^{2}a\cos^{2}a}$ $=\frac{2}{3}\left( 1+\tan^{2}a \right)$.
b)$B=\frac{1+\left( \sin^{2}a+\cos^{2}a \right)\left( \sin^{2}a-\cos^{2}a \right)}{1-\left( \sin^{2}a+\cos^{2}a \right)\left( \sin^{4}a-\sin^{2}a\cos^{2}a+\cos^{4}a \right)}$ $=\frac{1+\sin^{2}a-\cos^{2}a}{1-\left[ \left( \sin^{2}a+\cos^{2}a \right)^{2}-3\sin^{2}a\cos^{2}a \right]}$ $=\frac{2\sin^{2}a}{3\sin^{2}a\cos^{2}a}$ $=\frac{2}{3}\left( 1+\tan^{2}a \right)$.