(HSG Hải Phòng 2025) Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thoi tâm $ O $, $ AB=4a $ và $ \widehat { BAD }=120° $. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AO $. Biết $ SH $ vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $và $ SH=a\sqrt[] { 3 } $.

Vì $ \widehat { BAD }=120° $ nên suy ra $ \widehat { CAD }=60° $. Lại có $ DA=DC $nên tam giác $ ΔACD $ đều. Do đó $ AM=2a\sqrt[] { 3 } $. a) Đúng Kẻ $ HE⊥CD $ $ \left ( { E\in CD } \right ) $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} HE⊥CD \\ AM⊥CD \\ \end{array} \end{array} \right.⇒HE{ \rm{ // } }AM $. Áp dụng định lý, ta-let: $ \frac { HE } { AM }=\frac { HC } { AC }=\frac { 3 } { 4 } $.Theo giả thiết, ta có $ \frac { HE } { AM }=\frac { HC } { AC }=\frac { 3 } { 4 } ⇒HE=\frac { 3 } { 4 }AM=\frac { 3 } { 4 }⋅2a\sqrt[] { 3 }=\frac { 3a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Mặt khác: $ CD⊥SH $, $ CD⊥HE $ nên suy ra $ CD⊥SE $. Vậy góc phẳng nhị diện $ \left[ S,CD,A \right] $ là góc $ \widehat { SEH } $. Xét tam giác vuông $ SHE $ tại $ H $: $ \tan \widehat { SEH }=\frac { SH } { HE }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { \frac { 3a\sqrt[] { 3 } } { 2 } }=\frac { 2 } { 3 } $. Vậy $ \tan\alpha =\frac { 2 } { 3 } $. Mệnh đề a đúng. b) Sai Ta có $ BD⊥AC $ (tính chất hai đường chéo hình thoi) và $ BD⊥SH $ (do $ SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $), mà $ AC,SH⊂\left ( { SAC } \right ) $ nên $ BD⊥\left ( { SAC } \right ) $. Do đó hình chiếu vuông góc của $ B $ lên $ \left ( { SAC } \right ) $ là điểm $ O $ (giao điểm $ AC∩BD $), không phải điểm $ H $. Vậy góc giữa đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ \left ( { SAC } \right ) $ là góc $ \widehat { BSO } $, không phải góc $ \widehat { BSH } $. Mệnh đề b sai. c) Đúng Ta có $ AO=\frac { AC } { 2 }=2a $. Xét tam giác vuông $ AOB $ tại $ O $ (do hai đường chéo hình thoi vuông góc) có $ \widehat { OAB }=60° $ (nửa góc $ \widehat { BAD } $), nên $ BO=AO.\tan60°=2a\sqrt[] { 3 }⇒BD=4a\sqrt[] { 3 } $. Diện tích hình thoi $ ABCD $ là $ S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 2 }AC.BD=\frac { 1 } { 2 }.4a.4a\sqrt[] { 3 }=8a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } $. Thể tích khối chóp $ S.ABCD $ là $ V=\frac { 1 } { 3 }SH.S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.a\sqrt[] { 3 }.8a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 }=8a ^ { 3 } $. Mệnh đề c đúng. d) Đúng Chọn hệ trục toạ độ $ Oxyz $ với $ O $ là gốc, $ Ox $ trùng $ OC $, $ Oy $ trùng $ OD $, $ Oz $ song song $ SH $. Khi đó $ A\left ( { -2a;0;0 } \right ) $, $ C\left ( { 2a;0;0 } \right ) $, $ B\left ( { 0;-2a\sqrt[] { 3 };0 } \right ) $, $ D\left ( { 0;2a\sqrt[] { 3 };0 } \right ) $, $ H\left ( { -a;0;0 } \right ) $, $ S\left ( { -a;0;a\sqrt[] { 3 } } \right ) $. $ M $ là trung điểm $ CD $: $ M\left ( { a;a\sqrt[] { 3 };0 } \right ) $. $ N $ là trung điểm $ BC $: $ N\left ( { a;-a\sqrt[] { 3 };0 } \right ) $. $ P $ là trung điểm $ SA $: $ P\left ( { -\frac { 3a } { 2 };0;\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) $. Ta có $ \overset\rightarrow { PN }=\left ( { \frac { 5a } { 2 };-a\sqrt[] { 3 };-\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) $, $ \overset\rightarrow { SM }=\left ( { 2a;a\sqrt[] { 3 };-a\sqrt[] { 3 } } \right ) $, $ \overset\rightarrow { PS }=\left ( { \frac { a } { 2 };0;\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) $. $ \left[ \overset\rightarrow { PN },\overset\rightarrow { SM } \right]=a ^ { 2 } \left ( { \frac { 9 } { 2 };\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 };\frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) $. $ \left[ \overset\rightarrow { PN },\overset\rightarrow { SM } \right].\overset\rightarrow { PS }=9a ^ { 3 } $, $ \left | { \left[ \overset\rightarrow { PN },\overset\rightarrow { SM } \right] } \right |=\frac { 3a ^ { 2 } \sqrt[] { 39 } } { 2 } $. $ d\left ( { PN,SM } \right )=\frac { \left | { \left[ \overset\rightarrow { PN },\overset\rightarrow { SM } \right].\overset\rightarrow { PS } } \right | } { \left | { \left[ \overset\rightarrow { PN },\overset\rightarrow { SM } \right] } \right | }=\frac { 9a ^ { 3 } } { \frac { 3a ^ { 2 } \sqrt[] { 39 } } { 2 } }=\frac { 6a } { \sqrt[] { 39 } }=\frac { 2a\sqrt[] { 39 } } { 13 } $. Mệnh đề d đúng.