(Cụm Ninh Giang - Tứ Kỳ - Gia Lộc 2025) Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, thể tích bằng $ \frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 6 } } { 6 } $. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ SCD $. Tính cosin góc giữa đường thẳng $ BG $ với đường thẳng $ SA $ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Chọn hệ trục tọa độ $ Oxyz $ như hình vẽ Khi đó ta có: $ A\left ( { \frac { 1 } { 2 };-\frac { 1 } { 2 };0 } \right ) $, $ B\left ( { -\frac { 1 } { 2 };-\frac { 1 } { 2 };0 } \right ) $, $ C\left ( { -\frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 };0 } \right ) $, $ D\left ( { \frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 };0 } \right ) $. Theo giả thiết: $ V=\frac { 1 } { 3 }Sh=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 6 } ⇒h=SO=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } $. Suy ra $ S\left ( { 0;0;\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } } \right ) $. $ G $ là trọng tâm tam giác $ SCD $ nên $ G\left ( { 0;\frac { 1 } { 3 };\frac { \sqrt[] { 6 } } { 6 } } \right ) $. Ta có: $ \overset\rightarrow { SA }=\left ( { \frac { 1 } { 2 };-\frac { 1 } { 2 };-\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } } \right ) $, $ \overset\rightarrow { BG }=\left ( { \frac { 1 } { 2 };\frac { 5 } { 6 };\frac { \sqrt[] { 6 } } { 6 } } \right ) $. Vậy $ \cos\left ( { SA,BG } \right )=\left | { \cos\left ( { \overset\rightarrow { SA },\overset\rightarrow { BG } } \right ) } \right | $$ =\frac { \left | { \overset\rightarrow { SA }.\overset\rightarrow { BG } } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { SA } } \right |\left | { \overset\rightarrow { BG } } \right | } $$ =\frac { \left | { \frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { 2 }.\frac { 5 } { 6 }-\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 }.\frac { \sqrt[] { 6 } } { 6 } } \right | } { \sqrt[] { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }.\sqrt[] { \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 5 } { 6 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { \sqrt[] { 6 } } { 6 } } \right ) ^ { 2 } } } $$ =\frac { \sqrt[] { 5 } } { 5 }\simeq 0,45 $.