(THPT Thạch Thành 1 - Thanh Hóa 2025) Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $, có đáy $ ABCD $ là hình vuông tâm $ O $. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng $ a $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ SC $. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { MBD } \right ) $ và $ \left ( { ABCD } \right ) $.

Do $ S.ABCD $ là hình chóp đều nên $ SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Ta có $ \left ( { MBD } \right )∩\left ( { ABCD } \right )=BD $ và $ \left ( { SAC } \right )⊥BD $ nên $ \left ( { \left ( { MBD } \right );\left ( { ABCD } \right ) } \right )=\left ( { MO;AC } \right )=φ $. Mặt khác $ MO\parallel SA $ nên $ φ= \widehat { SAC } $. Xét tam giác $ SAO $ vuông tại $ O $ có $ \cosφ=\frac { AO } { SA }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } { a }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }⇒φ=45 ^ { 0 } $. Vậy góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { MBD } \right ) $ và $ \left ( { ABCD } \right ) $ bằng $ 45 ^ { 0 } $.