Cho hình lăng trụ $ ABCD.A'B'C'D' $ có đáy là $ ABCD $ hình thoi cạnh bằng $ 1 $, $ AC=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $, $ A'AB $ là tam giác đều, $ \widehat { B'C'C }=120° $. Tính thể tích khối lăng trụ $ ABCD.A'B'C'D' $( kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cách 1: Ta tính toán được $ BD=\frac { \sqrt[] { 13 } } { 2 } $, $ \cos \widehat { BAD }=\frac { AB ^ { 2 } +AD ^ { 2 } -BD ^ { 2 } } { 2AB.AD }=\frac { -5 } { 8 } $ $ \widehat { B'C'C }=120°⇒ \widehat { A'AD }=120°⇒A'D=\sqrt[] { 3 } $ Khối chóp $ AA'BD $ có $ AA'=AB=AD=1 $, $ \widehat { A'AB }=60°, \widehat { A'AD }=120°, \widehat { BAD }=\alpha \,\,\left ( { \cos\alpha =\frac { -5 } { 8 } } \right ) $ nên $ V_{ AA'BD } =\frac { 1.1.1 } { 6 }\sqrt[] { 1+2.\cos60°.\cos120°.\left ( { -\frac { 5 } { 8 } } \right )-\left ( { -\frac { 5 } { 8 } } \right ) ^ { 2 } -\cos ^ { 2 } 60°-\cos ^ { 2 } 120° }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 16 } $ $ V_{ ABCD.A'B'C'D' } =6V_{ AA'BD } =6.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 16 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 8 }≈0,6 $. Cách 2: Dễ tính được $ D'C=D'A=1⇒ΔD'AC $ cân $ \left \{ \begin{array}{l} AC⊥BD \\ AC⊥D'O \end{array} \right.⇒AC⊥\left ( { BDD'B' } \right )⇒AC⊥DD'⇒AC⊥AA' $ Ta có $ BA=BC=BA'=1 $ và $ ΔAA'C $ vuông tại $ A $ nên kẻ $ BH⊥\left ( { AA'C } \right ) $ thì $ H $ là trung điểm của cạnh huyền $ A'C $. Dễ tính được $ A'C=\frac { \sqrt[] { 7 } } { 2 },AH=\frac { \sqrt[] { 7 } } { 4 },BH=\frac { 3 } { 4 } $ $ V_{ B.A'AC } =\frac { 1 } { 3 }.BH.S_{ A'AC } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 3 } { 4 }.\frac { 1 } { 2 }.1.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 16 } $ $ V_{ ABCD.A'B'C'D' } =6V_{ B.A'AC } =6.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 16 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 8 }≈0,6 $.