Người ta làm một sân khấu có hình dạng hai hình tròn giao nhau như hình vẽ. Bán kính hai hình tròn lần lượt là 30 m và 40 m. Khoảng cách giữa tâm hai hình tròn là 50 m. Tính diện tích phần giao nhau của hai hình tròn theo $ m ^ { 2 } $ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Tam giác $ AII' $ có $ AI=30;\,AI'=40;\,II'=50 $ nên nó vuông tại $ A $. Ta có: $ { \rm{ \cos } } \widehat { AI'I }=\frac { AI' } { II' }=\frac { 4 } { 5 }⇒ \widehat { AI'B }=2.\arccos\left ( { \frac { 4 } { 5 } } \right ) $ Diện tích hình viên phân tạo bởi dây cung $ AB $ của đường tròn $ (I';40) $ bằng diện tích hình quạt $ AI'B $ trừ đi diện tích tam giác $ AI'B $và bằng: $ S_{ 1 } =\frac { \pi R ^ { 2 } .\alpha } { 360 }-S_{ ΔAI'B } =\frac { \pi .40 ^ { 2 } .2\arccos\left ( { \frac { 4 } { 5 } } \right ) } { 360 }-S_{ ΔAI'B } $ Tương tự ta có thể tính diện tích viên phân tạo bởi cung $ AB $ của đường tròn $ (I;30) $ bằng diện tích hình quạt $ AIB $ trừ đi diện tích tam giác $ AIB $và bằng: $ S_{ 2 } =\frac { \pi R ^ { 2 } .\alpha } { 360 }-S_{ ΔAIB } =\frac { \pi .30 ^ { 2 } .2\arccos\left ( { \frac { 3 } { 5 } } \right ) } { 360 }-S_{ ΔAIB } $ Như vậy diện tích phần cần tính là tổng diện tích của 2 hình viên phân: $ S=S_{ 1 } +S_{ 2 } =\frac { \pi .40 ^ { 2 } .2\arccos\left ( { \frac { 4 } { 5 } } \right ) } { 360 }+\frac { \pi .30 ^ { 2 } .2\arccos\left ( { \frac { 3 } { 5 } } \right ) } { 360 }-S_{ AIBI' } \\ =\frac { \pi .40 ^ { 2 } .2\arccos\left ( { \frac { 4 } { 5 } } \right ) } { 360 }+\frac { \pi .30 ^ { 2 } .2\arccos\left ( { \frac { 3 } { 5 } } \right ) } { 360 }-2.S_{ AI'I } \\ =\frac { \pi .40 ^ { 2 } .2\arccos\left ( { \frac { 4 } { 5 } } \right ) } { 360 }+\frac { \pi .30 ^ { 2 } .2\arccos\left ( { \frac { 3 } { 5 } } \right ) } { 360 }-2.\frac { 1 } { 2 }.30.40≈664(m ^ { 2 } ) $