Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình bình hành tâm $ O $. Mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ) $ thay đổi luôn đi qua $ B $, trung điểm $ I $ của $ SO $ và cắt các cạnh $ SA,SC $ và $ SD $ lần lượt tại $ M,N $ và $ P. $ Gọi $ K $ là giá trị lớn nhất và $ k $ là giá trị nhỏ nhất của tỷ số $ \frac { V_{ S.BMPN } } { V_{ S.ABCD } } $. Tính giá trị biểu thức $ F=9K+6k $.

Ta có $ \frac { SA } { SM }+\frac { SC } { SN }=\frac { SB } { SB }+\frac { SD } { SP }=2\frac { SO } { SI } $ $ ⇒\frac { SA } { SM }+\frac { SC } { SN }=4;\, $ $ \frac { SD } { SP }=2.2-1=3 $. Tỉ lệ thể tích $ \frac { V_{ S.BMPN } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { \frac { SA } { SM }+\frac { SC } { SN }+\frac { SB } { SB }+\frac { SD } { SP } } { 4\frac { SA } { SM }.\frac { SC } { SN }.\frac { SB } { SB }.\frac { SD } { SP } }=\frac { 2 } { 3.\frac { SA } { SM }.\frac { SC } { SN } } $ Đặt $ \frac { SA } { SM }=x⇒x\geq 1 $. Từ $ \frac { SA } { SM }+\frac { SC } { SN }=4⇒\frac { SC } { SN }=4-x $. Do $ \frac { SC } { SN }\geq 1⇒4-x\geq 1⇒x\leq 3 $ Khi đó $ \frac { SA } { SM }.\frac { SC } { SN }=x\left ( { 4-x } \right ),\,1\leq x\leq 3 $. Đặt $ f\left ( { x } \right )=x\left ( { 4-x } \right ) $. Ta cần tìm GTLN, GTNN của hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ trên đoạn $ \left[ 1;3 \right] $. Ta có $ f\left ( { x } \right )=4x-x ^ { 2 } ⇒f'\left ( { x } \right )=4-2x $; $ f'\left ( { x } \right )=0⇔x=2 $. $ f\left ( { 2 } \right )=4;f\left ( { 1 } \right )=3,f\left ( { 3 } \right )=3 $ $ ⇒\mathop { max } \limits_{ \left[ 1;3 \right] } f\left ( { x } \right )=4,\,\mathop { min } \limits_{ \left[ 1;3 \right] } f\left ( { x } \right )=3 $ $ ⇒K=\frac { 2 } { 3.3 }=\frac { 2 } { 9 }, $ $ k=\frac { 2 } { 3.4 }=\frac { 1 } { 6 } $. $ ⇒F=9K+6k=9.\frac { 2 } { 9 }+6.\frac { 1 } { 6 }=3 $.