Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc, gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên mặt phẳng $ABC$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Lời giải a) Theo giả thiết $OH \perp (ABC) \Rightarrow OH \perp BC \quad (1)$. Lại có: $$ \left\{ \begin{array}{l} OA \perp OB \\ OA \perp OC \end{array} \right. \Rightarrow OA \perp (OBC) \Rightarrow OA \perp BC \quad (2) $$ Từ (1) và (2) có: $BC \perp (OAH) \Rightarrow BC \perp AH \quad (3)$. Chứng minh tương tự có: $AC \perp (OBH) \Rightarrow AC \perp BH \quad (4)$. Vậy $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Mệnh đề a đúng. b) Gọi $M$ là giao điểm của $AH$ và $BC$ (theo câu a, $AH \perp BC$ nên $M$ là chân đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$). Theo câu a ta có $BC \perp (OAH) \Rightarrow BC \perp OM$ và $BC \perp AM$. Xét tam giác vuông $OBC$ có $\frac{1}{OM^2} = \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}$. Xét tam giác vuông $OAM$ có $\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OM^2} = \frac{1}{OH^2}$. Vậy ta có: $\frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2} = \frac{1}{OH^2}$. Mệnh đề b sai. c) Có: $BC^2 = OB^2 + OC^2$ $AB^2 = OA^2 + OB^2$ $AC^2 = OA^2 + OC^2$ Suy ra $BC^2 < AB^2 + AC^2 \Rightarrow \widehat{A}$ nhọn. Tương tự: $AC^2 < AB^2 + BC^2 \Rightarrow \widehat{B}$ nhọn; $AB^2 < AC^2 + BC^2 \Rightarrow \widehat{C}$ nhọn. Vậy cả ba góc của tam giác $ABC$ đều nhọn. Mệnh đề c đúng. d) Đúng Đặt $OA=x, OB=y, OC=z$. Ta có $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}xy$, $S_{\Delta OBC}=\frac{1}{2}yz$, $S_{\Delta OAC}=\frac{1}{2}xz$. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với $A(x;0;0)$, $B(0;y;0)$, $C(0;0;z)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-x;y;0)$, $\overrightarrow{AC}=(-x;0;z)$. $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(yz;xz;xy)$ nên $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{y^2z^2+x^2z^2+x^2y^2}$. Suy ra $S_{\Delta ABC}^2=\frac{1}{4}\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)=\left(\frac{1}{2}xy\right)^2+\left(\frac{1}{2}yz\right)^2+\left(\frac{1}{2}xz\right)^2=S_{\Delta OAB}^2+S_{\Delta OBC}^2+S_{\Delta OAC}^2$. Mệnh đề d đúng.