Một khay đá gồm $ 6 $ ngăn nhỏ có dạng là các hình chóp cụt với miệng đáy là hình vuông. Ta đo được độ dài cạnh đáy nhỏ, cạnh đáy lớn lần lượt bằng $ 1\,\,cm $ và $ 3\,\,cm $ và chiều cao mặt bên bằng $ \sqrt[] { 2 }\,\,cm $. Tính $ a+b $ biết $ cosin $ góc giữa đường chéo của viên đá với cạnh đáy của viên đá có dạng $ \frac { a } { b } $ (a,b là hai số nguyên tố cùng nhau).

Mỗi ngăn đá là một hình chóp cụt có hai đáy là hình vuông, các cạnh bên bằng nhau. Các cạnh bên đồng quy tại $ S $. Góc giữa các đường chéo với các cạnh đáy bằng nhau nên ta xem đó là góc giữa $ MB $ và $ BC $. Kẻ $ MH⊥CD $, $ H\in CD $. Ta có: $ MC=\sqrt[] { MH ^ { 2 } +HC ^ { 2 } }=\sqrt[] { 6 }\,\,cm $, $ MD=\sqrt[] { 3 }\,\,cm $, $ BD=3\sqrt[] { 2 }\,\,cm $. Gọi $ E $, $ F $ lần lượt là hình chiếu của $ M $, $ P $ trên $ BD $. Nên $ ME⊥BD $, $ FP⊥BD $ Suy ra: $ ⇒DE=EF=FB=\sqrt[] { 2 }\,\,cm $. Khi đó $ ME=\sqrt[] { MD ^ { 2 } -DE ^ { 2 } }=1\,cm ⇒MB=\sqrt[] { ME ^ { 2 } +EB ^ { 2 } }=3\,\,cm $. Trong $ ΔMBC $ có $ \cos \widehat { MBC }=\frac { MB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } -MC ^ { 2 } } { 2.MB.BC }=\frac { 2 } { 3 } $. Vậy $ a+b=2+3=5 $.