Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $ \sqrt[] { 3 } $. Gọi $ I $ là trung điểm của cạnh $ AB $, hình chiếu vuông góc của $ S $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là trung điểm $ H $ của $ CI $. Biết góc giữa $ SA $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 45 ^ { { \rm{ o } } } $. Giả sử $ G $ là trọng tâm tam giác $ SBC $. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Chọn hệ trục toạ độ $ Ixyz $, với $ I $ là gốc toạ độ; các điểm $ A,\,C $ lần lượt thuộc các tia $ Ox,\,Oy $; trục $ Oz $ song song với $ SH $ và $ S $ có cao độ dương. $ CI $ là đường cao của tam giác đều $ ABC $ cạnh bằng $ \sqrt[] { 3 } $ suy ra $ CI=\sqrt[] { 3 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 3 } { 2 } $ Khi đó ta có $ I\left ( { 0;0;0 } \right ) $, $ A\left ( { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 };0;0 } \right ) $, $ B\left ( { -\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 };0;0 } \right ) $, $ C\left ( { 0;\frac { 3 } { 2 };0 } \right ) $, $ H\left ( { 0;\frac { 3 } { 4 };0 } \right ) $ Ta có $ AH $ là hình chiếu vuông góc của $ SA $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $. Góc giữa $ SA $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là góc giữa $ SA $ và $ AH $bằng góc $ \widehat { SAH }=45 ^ { { \rm{ o } } } $ $ AH=\sqrt[] { \left ( { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 3 } { 4 } } \right ) ^ { 2 } +0 ^ { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 21 } } { 4 } $ Do tam giác $ SAH $ vuông cân tại $ A $ nên $ SH=AH=\frac { \sqrt[] { 21 } } { 4 } $ Suy ra mệnh đề đúng. b) $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }SH.S_{ ABC } =\frac { 1 } { 3 }SH.\frac { 1 } { 2 }AB.CI=\frac { 1 } { 3 }\frac { \sqrt[] { 21 } } { 4 }.\frac { 1 } { 2 }\sqrt[] { 3 }.\frac { 3 } { 2 }=\frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 16 } $ Suy ra mệnh đề đúng. c) Theo câu a) Ta có: Góc giữa $ SA $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là góc giữa $ SA $ và $ AH $bằng góc $ \widehat { SAH }=45 ^ { { \rm{ o } } } $ Suy ra mệnh đề sai. d) Ta có hình chiếu vuông góc của $ S $ lên $ \left ( { ABC } \right ) $ là trung điểm $ H $, $ SH=\frac { \sqrt[] { 21 } } { 4 } $ và $ H\left ( { 0;\frac { 3 } { 4 };0 } \right ) $ nên $ S\left ( { 0;\frac { 3 } { 4 };\frac { \sqrt[] { 21 } } { 4 } } \right ) $ Do $ G $ là trọng tâm tam giác $ SBC $ nên $ G\left ( { -\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 };\frac { 3 } { 4 };\frac { \sqrt[] { 21 } } { 12 } } \right ) $ Đường thẳng $ SA $ đi qua điểm $ A\left ( { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 };0;0 } \right ) $ và có vectơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { AS }\left ( { -\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 };\frac { 3 } { 4 };\frac { \sqrt[] { 21 } } { 4 } } \right ) $ Đường thẳng $ CG $ đi qua điểm $ C\left ( { 0;\frac { 3 } { 2 };0 } \right ) $ và có vectơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { CG }\left ( { -\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 };-\frac { 3 } { 4 };\frac { \sqrt[] { 21 } } { 12 } } \right ) $ Ta có $ \left[ \overset\rightarrow { AS },\overset\rightarrow { CG } \right]=\left ( { \frac { \sqrt[] { 21 } } { 4 };0;\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) $, $ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { -\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 };\frac { 3 } { 2 };0 } \right ) $ $ \left[ \overset\rightarrow { AS },\overset\rightarrow { CG } \right].\overset\rightarrow { AC }=-\frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 8 } $ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SA $ và $ CG $ bằng $ \frac { \left | { \left[ \overset\rightarrow { AS },\overset\rightarrow { CG } \right].\overset\rightarrow { AC } } \right | } { \left | { \left[ \overset\rightarrow { AS },\overset\rightarrow { CG } \right] } \right | }=\frac { \frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 8 } } { \frac { \sqrt[] { 33 } } { 4 } }=\frac { \sqrt[] { 231 } } { 22 } $ Suy ra mệnh đề đúng.